E момент инерции: определение, законы, формулы для чайников

определение, законы, формулы для чайников

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Момент инерции | это… Что такое Момент инерции?

У этого термина существуют и другие значения, см. Момент.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Осевой момент инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где:

• m_i — масса i-й точки,
• r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

где:

•  — масса малого элемента объёма тела ,
•  — плотность,
•  — расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Основная статья: Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

,

где  — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ_i. Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R₁, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы  

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R₁ = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной конус

Вывод формулы  

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Вывод формулы  

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Вывод формулы  

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы  

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы  

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников^[1][2]

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr²). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра. ^[3][4]

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

где  — расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси.

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.

Единица измерения СИ — м⁴. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см⁴.

Из него выражается момент сопротивления сечения:

.

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина

,

где:

•  — масса малого элемента объёма тела ,
•  — плотность,
•  — расстояние от элемента до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

(1),

где  — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:

,
.

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где  — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины  — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

,

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на

и произведя замены:

,

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах :

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

См. также

• Движение твёрдого тела
• Метод главных компонент
• Сопротивление материалов
• Теорема Штейнера
• Механические приложения тройного интеграла
• Механические приложения двойного интеграла
• Полярный момент инерции
• Список моментов инерции

Примечания

1. ↑ Planetary Fact Sheet
2. ↑ Showman, Adam P.; Malhotra, Renu (1999). «The Galilean Satellites» (PDF). Science 286 (5437): 77–84. DOI:10.1126/science.286.5437.77. PMID 10506564.
3. ↑ Галкин И.Н. Внеземная сейсмология.  — М.: Наука, 1988. — С. 42-73. — 195 с. — (Планета Земля и Вселенная). — 15 000 экз. — ISBN 502005951X
4. ↑ Пантелеев В. Л. Физика Земли и планет. Гл. 3.4 — Гравитационное поле планеты

Литература

• Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.) http://www.alleng.ru/d/phys/phys108.htm
• Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
• Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997. http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys99.htm
• Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys103.htm
• Беляев Н. М., Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

Ссылки

• Определение момента инерции тел простой формы
• Осевые моменты инерции, моменты сопротивления и радиусы инерции плоских фигур
• Online Калькулятор осевых моментов инерции, моментов сопротивления и радиусов инерции плоских фигур

Момент инерции | Определение, уравнение, единица измерения и факты

момент инерции

Просмотреть все СМИ

Похожие темы:

инерция вращения
радиус вращения

См. все связанное содержимое →

момент инерции , в физике, количественная мера инерции вращения тела, т. е. противодействие, которое тело проявляет при изменении скорости вращения вокруг оси при приложении крутящего момента (сила поворота). Ось может быть внутренней или внешней и может быть фиксированной или нефиксированной. Момент инерции ( I ), однако, всегда указывается относительно этой оси и определяется как сумма произведений, полученных путем умножения массы каждой частицы материи в данном теле на квадрат ее расстояния от оси. При расчете углового момента твердого тела момент инерции аналогичен массе в линейном импульсе. Для линейного импульса импульс p равен массе m , умноженной на скорость v ; тогда как для углового момента угловой момент L равно моменту инерции I , умноженному на угловую скорость ω.

На рисунке показаны два стальных шарика, приваренных к стержню AB , прикрепленному к стержню OQ на C . Пренебрегая массой AB и полагая, что все частицы массой m каждого шара сосредоточены на расстоянии r от OQ , момент инерции равен I = 2 mr ² .

Викторина «Британника»

Физика и естественное право

Единица момента инерции является составной единицей измерения. В Международной системе (СИ) m выражается в килограммах, а r — в метрах, при этом I (момент инерции) имеет размерность килограмм-метр в квадрате. В обычной системе США м выражено в единицах (1 единица массы = 32,2 фунта) и r в футах, причем I выражено в единицах площади единиц-футов.

Момент инерции любого тела, форма которого может быть описана математической формулой, обычно рассчитывается с помощью интегрального исчисления. Момент инерции диска на фигуре около OQ можно аппроксимировать, разрезав его на ряд тонких концентрических колец, найдя их массы, умножив массы на квадраты их расстояний от OQ и сложив эти продукты. При использовании интегрального исчисления процесс суммирования осуществляется автоматически; ответ I = ( мР ² )/2. (См. механику; крутящий момент.)

Для тела математически не поддающейся описанию формы момент инерции можно определить экспериментальным путем. В одной из экспериментальных методик используется связь между периодом (временем) колебаний крутильного маятника и моментом инерции подвешенной массы. Если бы диск на рисунке был подвешен на проволоке OC , закрепленной в O , он бы колебался примерно OC , если его скрутить и отпустить. Время одного полного колебания будет зависеть от жесткости проволоки и момента инерции диска; чем больше инерция, тем больше время.

Редакторы Британской энциклопедии Эта статья была недавно отредактирована и дополнена Эриком Грегерсеном.

Площадь момента инерции — типичные сечения I

МОМЕНТИЯ ЗНАЧЕНИЯ или МОМЕНТИЯ Инерции для области — , также известный как Второй момент области — I . используется для прогнозирования прогиба, изгиба и напряжения в балках.

Площадь Момент инерции — Имперские единицы

• дюймы ⁴

Момент инерции площади — Метрические единицы

• мм ^{4 900 50}
• см ⁴
• м ⁴

Преобразование между модулями

• 1 см ⁴ = 10 ^-8 м ⁴ = 10 ⁴ мм ⁴
• 1 дюйм ⁴ = 4,16×10 ⁵ мм ⁴ = 41,6 см ⁴

Пример — преобразование между единицами площади момента инерции

9240 см 9004 9 4 можно преобразовать в мм ⁴ путем умножения на 10 ⁴

(9240 см ⁴ ) 10 ⁴ = 9,24 10 ⁷ мм ⁴ 900 18

Момент инерции площади (момент инерции площади или второй момент площади )

для изгиба вокруг оси x можно выразить как

I _x = ∫ y ² dA                          (1) 901 02

, где

I _x = площадь, связанная с моментом инерции до оси x ( м ⁴ , мм ⁴ , дюймы ⁴ )

y = перпендикулярное расстояние от оси x до элемента dA (м, мм, дюймов )

dA = площадь элемента ( м ² , мм ² , дюймов ² )

Момент инерции на изгиб вокруг оси y можно выразить как

I _y = ∫ x ² dA                        (2)

, где 901 02

I _y = момент инерции площади относительно оси y ( м ⁴ , мм ⁴ , дюймы ⁴ )

x = перпендикулярное расстояние от оси y до элемента dA (м, мм, дюймов )

Момент инерции площади для типичных сечений I

• Момент инерции площади для типовых сечений II

Сплошное квадратное сечение

Момент инерции площади для твердого квадратного сечения может быть рассчитано как

I _x  = a ⁴  / 12                      (2)

где

900 02 a = сторона (мм, м, дюймы)

I _y  = a ⁴  / 12                       (2b)

Сплошное прямоугольное сечение

Момент инерции площади для прямоугольного сечения можно рассчитать как

I _x = б ч ​​³ / 12                        (3)

где

b = ширина

h = высота 90 102

I _y  = b ³ ч / 12                             (3b)

Твердое круглое сечение

Момент инерции площади для сплошного цилиндрического сечения можно рассчитать как

I _x = π r ⁴ / 4

    = π d ⁴ / 64                        (4)

где

9000 2 r = радиус

d = диаметр

I _y  = π r ⁴  / 4

    = π d ⁴  / 64                           (4b)

Полый цилиндрический Поперечное сечение

Момент инерции площади для полого цилиндрического сечения можно рассчитать как

I _x = π (d _o ⁴ — d _i ⁴ ) / 64                            (5)

где

d _o = наружный диаметр цилиндра

d _i = внутренний диаметр цилиндра 9 4  — d _i ⁴ ) / 64                        (5b)

Квадратное сечение — диагональные моменты

Моменты инерции площади диагонали квадратного сечения можно рассчитать как

I _x = I _y = a ⁴ / 12                   (6)

Прямоугольное сечение – Моменты площади на любой линии, проходящей через центр тяжести

Прямоугольное сечение и площадь момента на линии, проходящей через центр тяжести, можно рассчитать как

I _x = (b h / 12) (h ² cos ² a + b ² sin ² a)                  (7)

Симметричная форма

Площадь Момент инерции для симметричного сечения может вычисляется как

I _x = (a h ³ / 12) + (b / 12) (H ³ — h ³ )                       (8)

I _у = (а ³ h / 12) + (b ³ / 12) (H — h)                      (8b)

Несимметричная форма

Площадь Момент инерции для сечения несимметричной формы можно рассчитать как ³ — В ₁ h _b ³ + b y _t ³ — b1 h _t ³ )                              (9) 90 018

• Момент инерции площади для типичных сечений II

Момент инерции площади в зависимости от Полярный момент инерции против момента инерции

• «Момент инерции площади» — это свойство формы, которое используется для прогнозирования прогиба, изгиба и напряжения в балках.
  
  E момент инерции: определение, законы, формулы для чайников