Eng Ru
Отправить письмо

Глоссарий. Алгебра и геометрия. Cos ab


Таблица Брадиса sin cos tg ctg

Калькулятор поможет рассчитать точные значения тригонометрических функций sin, cos, tg и ctg для различных значений углов в градусах или радианах.

На данной странице таблица Брадиса, которая дает значение sin, cos, tg, ctg любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса. Для нахождения значения угла берется число на пересечении строки, которое соответствует числу градусов и столбца, которое соответствует числу минут. Например, sin 70°30' = 0.9426.

Найти точное значение
Таблица Брадиса sin, cos
sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3' 60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3' 60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3' 60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3' 60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3' 60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3' 60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos sin0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3' 60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'cos
090°
0,0000001700350052007000870105012201400157017589°369
0175019202090227024402620279029703140332034988°369
0349036603840401041904360454047104880506052387°369
0523054105580576059306100628064506630680069886°369
06980715073207500767078508020819083708540872 85°369
0872088909060924094109580976099310111028104584°369
1045106310801097111511321149116711841201121983°369
1219123612531271128813051323134013571374139282°369
1392140914261444146114781495151315301547156481°369
156415821599161616331650166816851702 1719173680°369
10°1736175417711788180518221840185718741891190879°369
11°1908192519421959197719942011202820452062207978°369
12°2079209621132130214721642181219822152233225077°369
13°2250226722842300231723342351236823852402241976°368
14°2419243624532470248725042521 253825542571258875°368
15°2588260526222639265626722689270627232740275674°368
16°2756277327902807282328402857287428902907292473°368
17°2924294029572974299030073024304030573074309072°368
18°3090310731233140315631733190320632233239325671° 368
19°3256327232893305332233383355337133873404342070°358
20°3420343734533469348635023518353535513567358469°358
21°3584360036163633364936653681369737143730374668°358
22°3746376237783795381138273843385938753891390767°358
23°3907392339393955397139874003401940354051 406766°358
24°4067408340994115413141474163417941954210422665°358
25°4226424242584274428943054321433743524368438464°358
26°4384439944154431444644624478449345094524454063°358
27°4540455545714586460246174633464846644679469562°358
28°46954710472647414756477247874802 48184833484861°358
29°4848486348794894490949244939495549704985500060°358
30°5000501550305045506050755090510551205135515059°358
31°5150516551805195521052255240525552705284529958°257
32°5299531453295344535853735388540254175432544657°257
33°5446546154765490550555195534554855635577559256°257
34°5592560656215635565056645678569357075721573655°257
35°5736575057645779579358075821583558505864587854°257
36°5878589259065920593459485962597659906004601853°257
37°6018603260466060607460886101611561296143615752°257
38°6157617061846198621162256239625262666280629351°257
39°6293630763206334634763616374638864016414642850°247
40°6428644164556468648164946508652165346547656149°247
41°6561657465876600661366266639665266656678669148°247
42°6691670467176730674367566769678267946807682047°246
43°6820683368456858687168846896690969216934694746°246
44°6947695969726984699770097022703470467059707145°246
45°7071708370967108712071337145715771697181719344°246
46°7193720672187230724272547266727872907302731443°246
47°7314732573377349736173737385739674087420743142°246
48°7431744374557466747874907501751375247536754741°246
49°7547755975707581759376047615762776387649766040°246
50°7660767276837694770577167727773877497760777139°246
51°7771778277937804781578267837784878597869788038°245
52°7880789179027912792379347944795579657976798637°245
53°7986799780078018802880398049805980708080809036°235
54°8090810081118121813181418151816181718181819235°235
55°8192820282118221823182418251826182718281829034°235
56°8290830083108320832983398348835883688377838733°235
57°8387839684068415842584348443845384628471848032°235
58°8480849084998508851785268536854585548563857231°235
59°8572858185908599860786168625863486438652866030°134
60°8660866986788686869587048712872187298738874629°134
61°8746875587638771878087888796880588138821882928°134
62°8829883888468854886288708878888688948902891027°134
63°8910891889268934894289498957896589738980898826°134
64°8988899690039011901890269033904190489056906325°134
65°9063907090789085909291009107911491219128913524°124
66°9135914391509157916491719178918491919198920523°123
67°9205921292199225923292399245925292599265927222°123
68°9272927892859291929893049311931793239330933621°123
69°9336934293489354936193679373937993859391939720°123
70°9397940394099415942194269432943894449449945519°123
71°9455946194669472947894839489949495009505951118°123
72°9511951695219527953295379542954895539558956317°123
73°9563956895739578958395889593959896039608961316°122
74°9613961796229627963296369641964696509655965915°122
75°9659966496689673967796819686969096949699970314°112
76°9703970797119715972097249728973297369740974413°112
77°9744974897519755975997639767977097749778978112°112
78°9781978597899792979697999803980698109813981611°112
79°9816982098239826982998339836983998429845984810°112
80°98489851985498579860986398669869987198749877011
81°98779880988298859888989098939895989899009903011
82°99039905990799109912991499179919992199239925011
83°99259928993099329934993699389940994299439945011
84°99459947994999519952995499569957995999609962011
85°99629963996599669968996999719972997399749976001
86°99769977997899799980998199829983998499859986000
87°99869987998899899990999099919992999399939994000
88°99949995999599969996999799979997999899989998000
89°999899999999999999991.01.01.01.01.01.0000
90°1
Таблица Брадиса tg, ctg
tg0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3' 60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'ctg tg0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3' 60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'ctg tg0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3' 60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'ctg tg0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3' 60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'ctg tg0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3' 60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'ctg tg0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60' 1'2'3' 60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'ctg
090°
0,000001700350052007000870105012201400157017589°369
0175019202090227024402620279029703140332034988°369
0349036703840402041904370454047204890507052487°369
0524054205590577059406120629064706640682069986°369
06990717073407520769078708050822084008570,087585°369
0,0875089209100928094509630981099810161033105184°369
1051106910861104112211391157117511921210122883°369
1228124612631281129913171334135213701388140582°369
1405142314411459147714951512153015481566158481°369
15841602162016381655167316911709172717450,176380°369
10°0,1763178117991817183518531871189019081926194479°369
11°1944196219801998201620352053207120892107212678°369
12°2126214421622180219922172235225422722290230977°369
13°2309232723452364238224012419243824562475249376°369
14°24932512253025492568258626052623264226610,267975°369
15°0,2679269827172736275427732792281128302849286774°369
16°2867288629052924294329622981300030193038305773°369
17°3057307630963115313431533172319132113230324972°3610
18°3249326932883307332733463365338534043424344371°3610
19°34433463348235023522354135613581360036200,364070°3710
20°0,3640365936793699371937393759377937993819383969°3710
21°3839385938793899391939393959397940004020404068°3710
22°4040406140814101412241424163418342044224424567°3710
23°4245426542864307432743484369439044114431445266°3710
24°44524473449445154536455745784599462146420,466365°4711
25°0,4663468447064727474847704791481348344856487764°4711
26°4877489949214942496449865008502950515073509563°4711
27°5095511751395161518452065228525052725295531762°4711
28°5317534053625384540754305452547554985520554361°4811
29°55435566558956125635565856815704572757500,577460°4812
30°0,5774579758205844586758905914593859615985600959°4812
31°6009603260566080610461286152617662006224624958°4812
32°6249627362976322634663716395642064456469649457°4812
33°6494651965446569659466196644666966946720674556°4813
34°67456771679668226847687368996924695069760,700255°4913
35°0,7002702870547080710771337159718672127239726554°4813
36°7265729273197346737374007427745474817508753653°5914°
37°7536756375907618764676737701772977577785781352°5914
38°7813784178697898792679547983801280408069809851°5914
39°80988127815681858214824382738302833283610,839150°510 15
40°0,83918421845184818511854185718601863286620,869349°51015
41°8693872487548785881688478878891089418972900448°51016
42°9004903690679099913191639195922892609293932547°61116
43°93259358939194249457949095239556959096230,965746°61117
44°96579691972597599793982798619896993099651,000045°61117
45°1,0000003500700105014101760212024702830319035544°61218
46°0355039204280464050105380575061206490686072443°61218
47°0724076107990837087509130951099010281067110642°61319
48°1106114511841224126313031343138314231463150441°71320
49°15041544158516261667170817501792183318751,191840°71421
50°1,1918196020022045208821312174221822612305234939°71422
51°2349239324372482252725722617266227082753279938°81523
52°2799284628922938298530323079312731753222327037°81624
53°3270331933673416346535143564361336633713376436°81625
54°37643814386539163968401940714124417642291,428135°91726
55°1,4281433543884442449645504605465947154770482634°91827
56°4826488249384994505151085166522452825340539933°101929
57°5399545855175577563756975757581858805941600332°102030
58°6003606661286191625563196383644765126577664331°112132
59°66436709677568426909697770457113718272511,732130°112334
60°1,7321,7391,7461,7531,7601,7671,7751,7821,7891,7971,80429°124
61°1,8041,8111,8191,8271,8341,8421,8491,8571,8651,8731,88128°134
62°1,8811,8891,8971,9051,9131,9211,9291,9371,9461,9541,96327°134
63°1,9631,9711,9801,9881,9972,0062,0142,0232,0322,0412,0526°134
64°2,0502,0592,0692,0782,0872,0972,1062,1162,1252,1352,14525°235
65°2,1452,1542,1642,1742,1842,1942,2042,2152,2252,2362,24624°235
66°2,2462,2572,2672,2782,2892,32,3112,3222,3332,3442,35623°245
67°2,3562,3672,3792,3912,4022,4142,4262,4382,4502,4632,47522°246
68°2,4752,4882,52,5132,5262,5392,5522,5652,5782,5922,60521°246
69°2,6052,6192,6332,6462,662,6752,6892,7032,7182,7332,74720°257
70°2,7472,7622,7782,7932,8082,8242,8402,8562,8722,8882,90419°358
71°2,9042,9212,9372,9542,9712,9893,0063,0243,0423,063,07818°369
72°3,0783,0963,1153,1333,1523,1723,1913,2113,2303,2513,27117°3610
73°3,2713,2913,3123,3333,3543,376 3710
 3,3983,423,4423,4653,48716°4711
74°3,4873,5113,5343,5583,5823,606 4812
 3,6303,6553,6813,7063,73215°4813
75°3,7323,7583,7853,8123,8393,867 4913
 3,8953,9233,9523,9814,01114°51014

mozgan.ru

Задание 6 — геометрия с элементами тригонометрии

14 апреля 2011

Сегодня рассмотрим задачи B8 c тригонометрией в ее классическом понимании, где изучаются обычные прямоугольные треугольники. Поэтому никаких тригонометрических окружностей и отрицательных углов сегодня не будет — только обычные синусы и косинусы.

Такие задачи составляют примерно 30% от общего числа. Помните: если в задаче B8 хоть раз упоминается угол π, она решается совсем другими способами. Мы обязательно рассмотрим их в ближайшее время. А сейчас — главное определение урока:

Треугольник — фигура на плоскости, состоящая из трех точек и отрезков, которые их соединяют. Фактически, это замкнутая ломаная из трех звеньев. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами. Важно заметить, что вершины не должны лежать на одной прямой, иначе треугольник вырождается в отрезок.

Довольно часто треугольником называют не только саму ломаную, но и часть плоскости, которая этой ломаной ограничена. Таким образом, можно определить площадь треугольника.

Два треугольника называются равными, если один можно получить из другого путем одного или нескольких движений плоскости: сдвига, поворота или симметрии. Кроме того, существует понятие подобных треугольников: их углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны...

Все, что написано выше, можно было не читать. Потому что это не нужно. Вы что, не знаете, что такое треугольник? Вы действительно не знаете, как он выглядит? Хорошо, я сейчас покажу.

Прямоугольный треугольник ABC

Это треугольник ABC. Более того, это прямоугольный треугольник: в нем ∠C = 90°. Именно такие чаще всего и встречаются в задаче B8.

Все, что надо знать для решения задачи B8 — это несколько простых фактов из геометрии и тригонометрии, а также общая схема решения, в которой эти факты используются. Затем останется просто «набить руку».

Начнем с фактов. Они разбиты на три группы:

  1. Определения и следствия из них;
  2. Основные тождества;
  3. Симметрии в треугольнике.

Нельзя сказать, что какая-то из этих групп важнее, сложнее или проще. Но информация, которая в них содержится, позволяет решить любую задачу B8. Поэтому знать надо все. Итак, поехали!

Группа 1: определения и следствия из них

Прямоугольный треугольник ABC

Рассмотрим треугольник ABC, где ∠C — прямой. Для начала — определения:

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Один угол или отрезок может входить в разные прямоугольные треугольники. Более того, очень часто один и тот же отрезок является катетом в одном треугольнике и гипотенузой — в другом. Но об этом — дальше, а пока будем работать с обычным углом А. Тогда:

  1. sin A = BC : AB;
  2. cos A = AC : AB;
  3. tg A = BC : AC.

Основные следствия из определения:

  1. sin A = cos B; cos A = sin B — самые часто используемые следствия
  2. tg A = sin A : cos A — связывает тангенс, синус и косинус одного угла
  3. Если ∠A + ∠B = 180°, т.е. углы смежные, то: sin A = sin B; cos A = −cos B.

Хотите — верьте, хотите — нет, но этих фактов достаточно, чтобы решить примерно треть всех тригонометрических задач B8.

Группа 2: основные тождества

Первое и самое главное тождество — теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применительно к треугольнику ABC, рассмотренному выше, эту теорему можно записать так:

AC 2 + BC 2 = AB 2

И сразу — небольшое замечание, которое убережет читателя от множества ошибок. Когда решаете задачу, всегда (слышите, всегда!) записывайте теорему Пифагора именно в таком виде. Не пытайтесь сразу выражать катет, как это обычно требуется. Возможно, вы сэкономите пару строчек вычислений, но именно на этой «экономии» было потеряно больше баллов, чем где-либо еще в геометрии.

Второе тождество — из тригонометрии. Выглядит следующим образом:

sin 2A + cos 2A = 1

Оно так и называется: основное тригонометрическое тождество. С его помощью можно через синус выразить косинус и наоборот.

Группа 3: Симметрии в треугольнике

То, что написано ниже, относится только к равнобедренным треугольникам. Если в задаче таковой не фигурирует, то для решения достаточно фактов из первых двух групп.

Равнобедренный треугольник ABC

Итак, рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AC = BC. Проведем к основанию высоту CH. Получим следующие факты:

  1. ∠A = ∠B. Как следствие, sin A = sin B; cos A = cos B; tg A = tg B.
  2. CH — не только высота, но и биссектриса, т.е. ∠ACH = ∠BCH. Аналогично, равны и тригонометрические функции этих углов.
  3. Также CH — это медиана, поэтому AH = BH = 0,5 · AB.

Теперь, когда все факты рассмотрены, перейдем непосредственно к методам решения.

Общая схема решения задачи B8

Геометрия отличается от алгебры тем, что в ней нет простых и универсальных алгоритмов. Каждую задачу приходится решать с нуля — и в этом ее сложность. Тем не менее, общие рекомендации дать все-таки можно.

Для начала, следует обозначить неизвестную сторону (если таковая имеется) за X. Затем применяем схему решения, которая состоит из трех пунктов:

  1. Если в задаче есть равнобедренный треугольник, применить к нему все возможные факты из третьей группы. Найдите равные углы и выразите их тригонометрические функции. Кроме того, равнобедренный треугольник редко бывает прямоугольным. Поэтому ищите в задаче прямоугольные треугольники — они там обязательно есть.
  2. Применить к прямоугольному треугольнику факты из первой группы. Конечная цель — получить уравнение относительно переменной X. Найдем X — решим задачу.
  3. Если фактов из первой группы оказалось недостаточно, применяем факты из второй группы. И снова ищем X.

Примеры решения задач

А теперь попробуем с помощью полученных знаний решить наиболее распространенные задачи B8. Не удивляйтесь, что с таким арсеналом текст решения окажется не намного длиннее, чем исходное условие. И это радует :)

Задача. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, BC = 3. Найдите cos A.

Прямоугольный треугольник ABC

По определению (группа 1), cos A = AC : AB. Гипотенуза AB нам известна, а вот катет AC придется искать. Обозначим его AC = x.

Переходим к группе 2. Треугольник ABC — прямоугольный. По теореме Пифагора:

AC 2 + BC 2 = AB 2;x2 + 32 = 52;x2 = 25 − 9 = 16;x = 4.

Теперь можно найти косинус:

cos A = AC : AB = 4 : 5 = 0,8.

Задача. В треугольнике ABC угол B равен 90°, cos A = 4/5, BC = 3. BH — высота. Найдите AH.

Прямоугольный треугольник и высота

Обозначим искомую сторону AH = x и рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, причем ∠AHB = 90° по условию. Поэтому cos A = AH : AB = x : AB = 4/5. Это пропорция, ее можно переписать так: 5 · x = 4 · AB. Очевидно, мы найдем x, если будем знать AB.

Рассмотрим треугольник ABC. Он также прямоугольный, причем cos A = AB : AC. Ни AB, ни AC нам не известны, поэтому переходим ко второй группе фактов. Запишем основное тригонометрическое тождество:

sin 2A + cos 2A = 1; sin 2A = 1 − cos 2A = 1 − (4/5)2 = 1 − 16/25 = 9/25.

Поскольку тригонометрические функции острого угла положительны, получаем sin A = 3/5. С другой стороны, sin A = BC : AC = 3 : AC. Получаем пропорцию:

3 : AC = 3 : 5; 3 · AC = 3 · 5;AC = 5.

Итак, AC = 5. Тогда AB = AC · cos A = 5 · 4/5 = 4. Наконец, находим AH = x:

5 · x = 4 · 4;x = 16/5 = 3,2.

Задача. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 5, cos C = 0,8. Найдите высоту CH.

Равнобедренный треугольник с тупым углом

Обозначим искомую высоту CH = x. Перед нами равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC. Следовательно, из третьей группы фактов имеем:

∠A = ∠C ⇒ cos A = cos C = 0,8

Рассмотрим треугольник ACH. Он прямоугольный (∠H = 90°), причем AC = 5 и cos A = 0,8. По определению, cos A = AH : AC = AH : 5. Получаем пропорцию:

AH : 5 = 8 : 10; 10 · AH = 5 · 8;AH = 40 : 10 = 4.

Осталось воспользоваться второй группой фактов, а именно теоремой Пифагора для треугольника ACH:

AH 2 + CH 2 = AC 2; 42 + x2 = 52;x2 = 25 − 16 = 9;x = 3.

Задача. В прямоугольном треугольнике ABC ∠B = 90°, AB = 32, AC = 40. Найдите синус угла CAD.

Прямоугольный треугольник и смежный угол

Поскольку нам известна гипотенуза AC = 40 и катет AB = 32, можно найти косинус угла A: cos A = AB : AC = 32 : 40 = 0,8. Это был факт из первой группы.

Зная косинус, можно найти синус через основное тригонометрическое тождество (факт из второй группы):

sin 2A + cos 2A = 1; sin 2A = 1 − cos 2A = 1 − 0,82 = 0,36; sin A = 0,6.

При нахождении синуса вновь был использован тот факт, что тригонометрические функции острого угла положительны. Осталось заметить, что углы BAC и CAD смежные. Из первой группы фактов имеем:

∠BAC + ∠CAD = 180°; sin CAD = sin BAC = sin A = 0,6.

Задача. В треугольнике ABC AC = BC = 5, AB = 8, CH — высота. Найдите tg A.

Равнобедренный треугольник ABC

Треугольник ABC — равнобедренный, CH — высота, поэтому заметим, что AH = BH = 0,5 · AB = 0,5 · 8 = 4. Это факт из третьей группы.

Теперь рассмотрим треугольник ACH: в нем ∠AHC = 90°. Можно выразить тангенс: tg A = CH : AH. Но AH = 4, поэтому остается найти сторону CH, которую обозначим CH = x. По теореме Пифагора (факт из группы 2) имеем:

AH 2 + CH 2 = AC 2; 42 + x2 = 52;x2 = 25 − 16 = 9;x = 3.

Теперь все готово, чтобы найти тангенс: tg A = CH : AH = 3 : 4 = 0,75.

Задача. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 6, cos A = 3/5. Найдите высоту AH.

Равнобедренный треугольник и высота

Обозначим искомую высоту AH = x. Снова треугольник ABC — равнобедренный, поэтому заметим, что ∠A = ∠B, следовательно, cos B = cos A = 3/5. Это факт из третьей группы.

Рассмотрим треугольник ABH. По условию, он прямоугольный (∠AHB = 90°), причем известна гипотенуза AB = 6 и cos B = 3/5. Но cos B = BH : AB = BH : 6 = 3/5. Получили пропорцию:

BH : 6 = 3 : 5; 5 · BH = 6 · 3;BH = 18/5 = 3,6.

Теперь найдем AH = x по теореме Пифагора для треугольника ABH:

AH 2 + BH 2 = AB 2;x2 + 3,62 = 62;x2 = 36 − 12,96 = 23,04;x = 4,8.

Дополнительные соображения

Бывают нестандартные задачи, где рассмотренные выше факты и схемы бесполезны. Увы, в таком случае нужен действительно индивидуальный подход. Подобные задачи любят давать на всевозможных «пробных» и «демонстрационных» экзаменах.

Ниже приведены две реальные задачи, которые предлагались на пробном ЕГЭ в Москве. Справились с ними единицы, что свидетельствует о высокой сложности этих задач.

Задача. В прямоугольном треугольнике ABC из угла C = 90° провели медиану и высоту. Известно, что ∠A = 23°. Найдите ∠MCH.

Прямоугольный треугольник, высота и медиана

Заметим, что медиана CM проведена к гипотенузе AB, поэтому M — центр описанной окружности, т.е. AM = BM = CM = R, где R — радиус описанной окружности. Следовательно, треугольник ACM — равнобедренный, и ∠ACM = ∠CAM = 23°.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и CBH. По условию, оба треугольника прямоугольные. Кроме того, ∠B — общий. Следовательно, треугольники ABC и CBH подобны по двум углам.

В подобных треугольника соответствующие элементы пропорциональны. В частности:

BCH = BAC = 23°

Наконец, рассмотрим ∠C. Он прямой, и, кроме того, ∠C = ∠ACM + ∠MCH + ∠BCH. В этом равенстве ∠MCH — искомый, а ∠ACM и ∠BCH известны и равны 23°. Имеем:

90° = 23° + MCH + 23°;MCH = 90° − 23° − 23° = 44°.

Задача. Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Прямоугольник ABCD и диагональ

Обозначим стороны прямоугольника: AB = x, BC = y. Выразим периметр:

PABCD = 2 · (AB + BC) = 2 · (x + y) = 34;x + y = 17.

Аналогично выразим площадь: SABCD = AB · BC = x · y = 60.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, поэтому запишем теорему Пифагора:

AB 2 + BC 2 = AC2;AC 2 = x2 + y2.

Заметим, что из формулы квадрата разности следует равенство:

x2 + y2 = (x + y)2 − 2 · x · y = 172 − 2 · 60 = 289 − 120 = 169

Итак, AC 2 = 169, откуда AC = 13.

Смотрите также:

  1. Задача B8: отрезки и углы в треугольниках
  2. Центральные и вписанные углы в задании 6
  3. Дополнительные соображения
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
  5. Четырехугольная пирамида в задаче C2
  6. Задача B2: лекарство и таблетки

www.berdov.com

Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы [wiki.eduVdom.com]

subjects:mathematics:тригонометрические_выражения_и_формулы

Отметим на координатной оси Ох справа от точки О точку А и построим окружность с центром в точке О и радиусом ОА (так называемым начальным радиусом).

Окружность с центром в точке О и радиусом ОА

Рис.1

Пусть при повороте на угол a против часовой стрелки начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ.

Тогда:

  • Синусом (sin α) угла α называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

  • Косинусом (cos α) угла α называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

  • Тангенсом (tg α) угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

  • Котангенсом (ctg α) угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

  • Секанс определяется как sec α = 1/(cos α)

  • Косеканс определяется как cosec α = 1/(sin α)

  • В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x

Если координаты точки В равны x и y, то:

$$\sin{\alpha} = \frac{y}{R}\;;\; \cos{\alpha} = \frac{x}{R}\;;\; {\rm tg}\, \alpha = \frac{y}{x}\;;\; {\rm ctg}\, \alpha = \frac{x}{y}$$

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α

Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов (прочерк сделан, когда выражение не имеет смысла):

0 рад

30º $$\frac{\pi}{6}$$ 45º $$\frac{\pi}{4}$$ 60º $$\frac{\pi}{3}$$ 90º $$\frac{\pi}{2}$$ 180º

$$\pi$$

270º $$\frac{3\pi}{2}$$ 360º

$$2\pi$$

$$\sin \alpha$$ $$\cos \alpha$$ $${\rm tg}\, \alpha$$ $${\rm ctg}\, \alpha$$
Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α
0 $$\frac{1}{2}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 1 0 -1 0
1 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{1}{2}$$ 0 -1 0 1
0 $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ 1 $$\sqrt{3}$$ - 0 - 0
- $$\sqrt{3}$$ 1 $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ 0 - 0 -

Свойства sin, cos, tg и ctg

Свойства синуса (sin), косинуса (cos), тангенса(tg) и котангенса(ctg):

  1. Определение знака

    • Если α-угол I или II координатной четверти, то sin α > 0;

    • Если α-угол III или IV координатной четверти, то sin α < 0;

    • Если α-угол I или IV координатной четверти, то cos α > 0;

    • Если α-угол II или III координатной четверти, то cos α < 0;

    • Если α-угол I или III координатной четверти, то tg α > 0 и ctg α > 0;

    • Если α-угол II или IV координатной четверти, то tg α < 0 и ctg α < 0.

  2. Синус, тангенс и котангенс - нечетные функции; косинус - четная функция.

    • Для чётной функции справедливо равенство: y(-x) = y(x). Примеры чётных функций: y = cos(x), y = x2.

    • Для НЕчётной функции справедливо равенство: y(-x) = -y(x). Примеры НЕчётных функций: y = sin(x), y = x.

  3. При изменении угла на целое число оборотов значения тригонометрических функций не меняются.

1 радиан - это мера центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Связь радианов с градусами: $1° =\frac{\pi}{180}\text{рад; 1 рад }=\frac{180°}{\pi}$.

Основные тригонометрические тождества

Формулы приведения

X $\frac{\pi}{2}-\alpha$ $\frac{\pi}{2}+\alpha$ $\pi-\alpha$ $\pi+\alpha$ $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ $\frac{3\pi}{2}+\alpha$ $2\pi-\alpha$ $2\pi+\alpha$ sin x cos x tg x ctg x
cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α
sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α cos α cos α
ctg α -ctg α -tg α tg α ctg α -ctg α -tg α tg α
tg α -tg α -ctg α ctg α tg α -tg α -ctg α ctg α

Формулы сложения

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла или двойного аргумента:

Формулы половинного аргумента

Формулы половинного аргумента (для sin и cos - формулы понижения степени):

Формулы суммы и разности

Формулы произведения

Соотношения между sin x, cos x и tg(x/2)

Один из способов использования: свести всё к tg(x/2) и путём замены получить обычное алгебраическое выражение.

Простейшие тригонометрические уравнения

Дополнительно

subjects/mathematics/тригонометрические_выражения_и_формулы.txt · Последние изменения: 2014/02/26 22:10 — ¶

wiki.eduvdom.com

Все формулы по тригонометрии

Все формулы по тригонометрии
Основные тригонометрические тождества

\(sin^2x+cos^2x=1\)

\(tgx= \frac{sinx}{cosx}\)

\(ctgx= \frac{cosx}{sinx}\)

\(tgxctgx=1\)

\(tg^2x+1= \frac{1}{cos^2x}\)

\(ctg^2x+1= \frac{1}{sin^2x}\)

Формулы двойного аргумента (угла)

\(sin2x=2cosxsinx\)

\(sin2x= \frac{2tgx}{1+tg^2x}= \frac{2ctgx}{1+ctg^2x} = \frac{2}{tgx+ctgx}\)

\(cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x\)

\(cos2x= \frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}= \frac{ctg^2x-1}{ctg^2x+1}= \frac{ctgx-tgx}{ctgx+tgx} \)

\(tg2x= \frac{2tgx}{1-tg^2x}= \frac{2ctgx}{ctg^2x-1}= \frac{2}{ctgx-tgx}\)

\(ctg2x= \frac{ctg^2x-1}{2ctgx}= \frac{ctgx-tgx}{2}\)

Формулы тройного аргумента (угла)

\(sin3x=3sinx-4sin^3x\)

\(cos3x=4cos^3x-3cosx\)

\(tg3x= \frac{3tgx-tg^3x}{1-3tg^2x}\)

\(ctg3x= \frac{ctg^3x-3ctgx}{3ctg^2x-1}\)

Формулы половинного аргумента (угла)

\(sin^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{2}\)

\(cos^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{2}\)

\(tg^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{1+cosx}\)

\(ctg^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{1-cosx}\)

\(tg \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{sinx}= \frac{sinx}{1+cosx}\)

\(ctg \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{sinx}= \frac{sinx}{1-cosx}\)

Формулы квадратов тригонометрических функций

\(sin^2x= \frac{1-cos2x}{2}\)

\(cos^2x= \frac{1+cos2x}{2}\)

\(tg^2x= \frac{1-cos2x}{1+cos2x}\)

\(ctg^2x= \frac{1+cos2x}{1-cos2x}\)

\(sin^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{2}\)

\(cos^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{2}\)

\(tg^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{1+cosx}\)

\(ctg^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{1-cosx}\)

Формулы кубов тригонометрических функций

\(sin^3x= \frac{3sinx-sin3x}{4}\)

\(cos^3x= \frac{3cosx+cos3x}{4}\)

\(tg^3x= \frac{3sinx-sin3x}{3cosx+cos3x}\)

\(ctg^3x= \frac{3cosx+cos3x}{3sinx-sin3x}\)

Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

\(sin^4x= \frac{3-4cos2x+cos4x}{8}\)

\(cos^4x= \frac{3+4cos2x+cos4x}{8}\)

Формулы сложения аргументов

\(sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta\)

\(cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta \)

\(tg(\alpha + \beta)= \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha tg \beta}\)

\(ctg(\alpha + \beta)= \frac{ctg \alpha ctg \beta -1}{ctg \alpha + ctg \beta}\)

\(sin(\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta\)

\(cos(\alpha - \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta\)

\(tg(\alpha - \beta)= \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha tg \beta}\)

\(ctg(\alpha - \beta)= \frac{ctg \alpha ctg \beta +1}{ctg \alpha - ctg \beta}\)

Формулы суммы тригонометрических функций

\(sin\alpha + sin\beta = 2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta }{2}\)

\(cos\alpha + cos\beta = 2cos \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta }{2}\)

\(tg\alpha + tg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta} \)

\(ctg\alpha + ctg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta}\)

\((sin\alpha + cos\alpha)^2= 1+sin2\alpha \)

Формулы разности тригонометрических функций

\(sin\alpha - sin\beta = 2sin \frac{\alpha - \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha + \beta }{2}\)

\(cos\alpha - cos\beta = -2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot sin \frac{\alpha - \beta }{2}\)

\(tg\alpha - tg\beta = \frac{sin(\alpha - \beta) }{cos \alpha cos \beta} \)

\(ctg\alpha - ctg\beta = - \frac{sin(\alpha - \beta) }{sin \alpha sin \beta}\)

\((sin\alpha + cos\alpha)^2= 1-sin2\alpha \)

Формулы произведения тригонометрических функций

\(sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta)}{2}\)

\(sin\alpha \cdot cos\beta = \frac{sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta)}{2}\)

\(cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta)}{2}\)

\(tg\alpha \cdot tg\beta = \frac{cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta)} = \frac{tg\alpha + tg\beta}{ctg\alpha + ctg\beta}\)

\(ctg\alpha \cdot ctg\beta = \frac{cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta)} = \frac{ctg\alpha + ctg\beta}{tg\alpha + tg\beta}\)

\(tg\alpha \cdot ctg\beta = \frac{sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \beta)}\)



100formul.ru

Формулы тригонометрических уравнений

Для удобной работы все формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, включая частные случаи, а также таблицы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов собраны на одной странице.

I. sin x =a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

    \[x = {( - 1)^n}\arcsin a + \pi n,(n \in Z)\]

Таблица арксинусов

    \[\begin{array}{*{20}{c}} a&{ - 1}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}&0&{\frac{1}{2}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&1 \\ {\arcsin a}&{ - \frac{\pi }{2}}&{ - \frac{\pi }{3}}&{ - \frac{\pi }{4}}&{ - \frac{\pi }{6}}&0&{\frac{\pi }{6}}&{\frac{\pi }{4}}&{\frac{\pi }{3}}&{\frac{\pi }{2}} \end{array}\]

    \[\arcsin ( - a) = - \arcsin a\]

II. cos x=a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

    \[x = \pm \arccos a + 2\pi n,(n \in Z).\]

Таблица арккосинусов

    \[\begin{array}{*{20}{c}} a&{ - 1}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}&0&{\frac{1}{2}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&1 \\ {\arccos a}&\pi &{\frac{{5\pi }}{6}}&{\frac{{3\pi }}{4}}&{\frac{{2\pi }}{3}}&{\frac{\pi }{2}}&{\frac{\pi }{3}}&{\frac{\pi }{4}}&{\frac{\pi }{6}}&0 \end{array}\]

    \[\arccos ( - a) = \pi - \arccos a\]

Частные случаи синуса и косинуса:

Формулы тригонометрических уравнений

III. tg x=a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

    \[x = arctga + \pi n,(n \in Z).\]

Таблица арктангенсов

    \[\begin{array}{*{20}{c}} a&{ - \sqrt 3 }&{ - 1}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}&0&{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}&1&{\sqrt 3 } \\ {arctga}&{ - \frac{\pi }{3}}&{ - \frac{\pi }{4}}&{ - \frac{\pi }{6}}&0&{\frac{\pi }{6}}&{\frac{\pi }{4}}&{\frac{\pi }{3}} \end{array}\]

    \[arctg( - a) = - arctga\]

IV. ctg x = a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

    \[x = arcctga + \pi n,(n \in Z).\]

Таблица арккотангенсов

    \[\begin{array}{*{20}{c}} a&{ - \sqrt 3 }&{ - 1}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}&0&{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}&1&{\sqrt 3 } \\ {arcctga}&{\frac{{5\pi }}{6}}&{\frac{{3\pi }}{4}}&{\frac{{2\pi }}{3}}&{\frac{\pi }{2}}&{\frac{\pi }{3}}&{\frac{\pi }{4}}&{\frac{\pi }{6}} \end{array}\]

    \[\operatorname{arcc} tg( - a) = \pi - \operatorname{arcc} tga\]

 

www.uznateshe.ru

cos 2

Единичная окружность помогает разобраться, чему равны cos 1, cos 2, cos 3, cos 4, cos 5 и cos 6, без калькулятора и таблиц.

 cos 1, cos 2, cos 3

Чтобы найти углы в 1, 2, 3, 4 5 и 6 радиан на единичной окружности, можно вспомнить, что п приближенно равно 3,14, и привязать их местонахождение к п, п/2, 3п/2 и 2п. Можно пойти другим путем: угол в 1 радиан соответствует длине дуги, равной радиусу окружности. Соответственно, отмечаем 6 раз на окружности длину радиуса. Конечно, рисунок получается очень приблизительным, но наглядным.

Итак, косинус 1, косинус 2, косинус 3, косинус 4, косинус 5 и косинус 6 — это абсциссы (x) отмеченных точек. С помощью единичной окружности можно легко сравнивать косинусы. Мы видим, cos 1>0,  cos 5>0 и cos 6>0, а cos 2<0, cos 3<0, cos 4<0. Соответственно, вопрос сравнения косинусов с разными знаками решается элементарно: любое положительное число больше любого отрицательного: например, cos1 > cos3. При сравнении косинусов с одинаковыми знаками можно использовать геометрическую интерпретацию. Таким образом получаем, например: cos2 > cos4, cos5 < cos1.

Если нужны более точные значения cos 1, cos 2, cos 3, cos 4, cos 5 и cos 6, можно воспользоваться калькулятором либо таблицами:

    \[\cos 1 \approx 0,5403\]

    \[\cos 2 \approx - 0,4161\]

    \[\cos 3 \approx - 0,99\]

    \[\cos 4 \approx - 0,6536\]

    \[\cos 5 \approx 0,2835\]

    \[\cos 6 \approx 0,9602.\]

При оценке приблизительных значений углов, больших 6 радиан, геометрическая интерпретация тоже работает, но с увеличением угла накапливается погрешность вычислений.

www.uznateshe.ru

Тригонометрические формулы. Основные тригонометрические тождества. Тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества

  • sin² α + cos² α = 1
  • tg α · ctg α = 1
  • tg α = sin α ÷ cos α
  • ctg α = cos α ÷ sin α
  • 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
  • 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Формулы сложения

  • sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
  • sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α
  • cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
  • cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
  • tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)
  • tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
  • ctg (α + β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)
  • ctg (α - β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

Формулы двойного угла

  • cos 2α = cos² α - sin² α
  • cos 2α = 2cos² α - 1
  • cos 2α = 1 - 2sin² α
  • sin 2α = 2sin α · cos α
  • tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
  • ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла

  • sin 3α = 3sin α - 4sin³ α
  • cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
  • tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
  • ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Формулы понижения степени

  • sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
  • sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
  • cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
  • cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
  • sin² α · cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
  • sin³ α · cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

Переход от произведения к сумме

  • sin α · cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
  • sin α · sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
  • cos α · cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Переход от суммы к произведению

trigonometricheskie-formulytrigonometricheskie-formulytrigonometricheskie-formulytrigonometricheskie-formulytrigonometricheskie-formuly

Другие заметки по алгебре и геометрии

edu.glavsprav.ru


© ЗАО Институт «Севзапэнергомонтажпроект»
Разработка сайта