График распределенной нагрузки 5: График распределенной нагрузки, 5 (пять) букв

Распределенные нагрузки и их равнодействующая

Распределенная нагрузка

Распределенной нагрузкой называют внешние или внутренние усилия, которые приложены не в одной точке твердого тела (т.е. не сосредоточены в одной точке), а равномерно, случайным образом или по заданному закону распределены по его определенной длине, площади (поверхности) или объему.

Рассмотрим виды распределенных нагрузок q: линейную, равномерную, треугольную (возрастающую или убывающую), трапециевидную, нелинейную, наклонную (направленную под углом) и замену их результирующей сосредоточенной силой — равнодействующей Q (R_q)

Воздействие на детали, конструкции, элементы механизмов может быть задано распределенными нагрузками: в плоской системе задается интенсивность действия по длине конструкции, в пространственной системе – по площади.

Это может быть собственный вес элемента конструкции, давление газа или воды, распределенный вес сыпучих материалов, ветровая нагрузка и тому подобное.

Обозначение распределенной нагрузки — q

Размерность:

• линейной нагрузки — Н/м,
• нагрузки распределенной по площади — Н/м²,
• объемной (например при учете собственного веса элементов конструкции) — Н/м³.

или кратные им, например кН/м.

Равнодействующая распределенной нагрузки

При решении некоторых задач технической и теоретической механики, распределенную нагрузку удобно заменять её равнодействующей, обозначаемой Q или R_q, которая для линейного случая распределения, определяется произведением интенсивности нагрузки q на её длину AB.

Равнодействующая распределенной нагрузки действует в точке, расположенной в центре тяжести фигуры, ограниченной профилем её распределения.

Рассмотрим способы замены распределенных нагрузок их равнодействующей.

Равномерно распределенная нагрузка

Равномерно распределенная по длине AB нагрузка интенсивностью q, измеряемая в Н/м

может быть заменена сосредоточенной силой Q (R_q)

приложенной в центре (на пересечении диагоналей) прямоугольника, середине отрезка AB.

Линейно изменяющаяся (треугольная) нагрузка

Треугольная, линейно изменяющаяся убывающая (возрастающая) нагрузка

может быть заменена равнодействующей силой, приложенной в точке C

Отметим, что центр тяжести треугольника находится на пересечении его медиан, на расстоянии 1/3 высоты от основания или 2/3 высоты от его вершин.

Трапециевидная распределенная нагрузка

Трапециевидная, равномерно убывающая или возрастающая нагрузка характеризуется длиной и двумя значениями интенсивности распределения нагрузки: минимальной q_min и максимальной q_max

Профиль такой нагрузки представляет собой трапецию.
Величина и положение равнодействующей Q в данном случае определяется по выражениям

Нелинейная распределенная нагрузка

В произвольном общем случае, интенсивность распределения нагрузки по её длине может описываться одной или несколькими функциями.

Зная функцию q(x), сосредоточенная эквивалентная (равнодействующая) сила рассчитывается по формуле

Эта сила также приложена в центре тяжести площади, ограниченной сверху от балки AB линией q(x).

Для расчета точки приложения равнодействующей нагрузки необходимо вычислить координату положения центра тяжести фигуры, образуемой нагрузкой.

Наклонная распределенная нагрузка

В случаях, когда распределенная нагрузка приложена под определенным углом, величина равнодействующей определяется аналогично ранее описанным способам.

При этом угол наклона самой силы будет равен углу наклона нагрузки q.

Например, линия действия равнодействующей наклонной равномерно распределенной нагрузки будет пересекать ось балки ровно посередине между крайними точками её приложения.

Величина равнодействующей будет равна площади параллелограмма, образованного профилем нагрузки.

Как рассчитывается момент распределенной нагрузки

Распределенная нагрузка от давления

Примером распределенной нагрузки от давления может служить расчет усилий, разрывающих стенки баллона со сжатым газом.

Определим результирующую силу давления в секторе трубы при интенсивности q [Н/м];

где:
R – радиус трубы,
2α – центральный угол,
ось Ox – ось симметрии.

Выделим элемент сектора с углом ∆φ и определим силу ∆Q, действующую на плоский элемент дуги:

Проекция этой силы на ось Ox будет

В силу симметрии элемента трубы (с дугой AB) относительно оси Ox проекция результирующей силы на ось Oy:

Q_y = 0, т.е. Q = Q_x,

Тогда

где АВ – хорда, стягивающая концы дуги.

Для цилиндрической емкости высотой h и внутренним давлением P на стенки действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = p [Н/м²].

Если цилиндр рассечен по диаметру, то равнодействующая этих сил равна

F = q ∙ d ∙ h

где, d – внутренний диаметр, или

F = p ∙ 2R ∙ h.

Тогда, разрывающие баллон по диаметру усилия:

S₁ = S₂ = S;
2S = F;
S = p∙h∙R.

Если принять что a – толщина стенки, то (пренебрегая усилиями в крышке и дне цилиндра) растягивающее напряжение в стенке равно

Примеры решения задач >
Уравнения равновесия системы сил >

Свободно опертая балка с распределенной массой под действием постоянной поперечной силы, перемещающейся вдоль пролета балки с постоянной скоростью

Цель: Определение деформированного состояния свободно опертой балки с распределенной массой от воздействия постоянной поперечной силы, перемещающейся вдоль пролета балки с постоянной скоростью.

Файлы с исходными данными:

Формулировка задачи: Вдоль пролета свободно опертой балки постоянного сечения с равномерно распределенной массой μ перемещается с постоянной скоростью v постоянная поперечная сила P. Определить собственные формы и частоты колебаний p свободно опертой балки, а также прогиб η в поперечном сечении середины пролета балки во времени.

Ссылки: С. П. Тимошенко, Курс теории упругости, под редакцией Э. И. Григолюка, Киев, Наукова думка, 1972, стр. 345.

Исходные данные:

E = 3.0·106 тс/м2	— модуль упругости;
ν = 0.2	— коэффициент Пуассона;
b = 0.4 м	— ширина прямоугольного поперечного сечения балки;
h = 0.8 м	— высота прямоугольного поперечного сечения балки;
l = 8. 0 м	— длина пролета балки;
γ = 2.5 тс/м3	— объемный вес материала балки;
P = 76.8 тс	— значение постоянной силы, перемещающейся вдоль пролета балки;
g = 10.00 м/с2	— значение ускорения свободного падения;

Скорость перемещения постоянной силы v принимается в зависимости от значений длины пролета балки и периода основного тона собственных колебаний балки T₁:

v = l / T₁.

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – балочный ростверк / плита, 32 стержневых элемента типа 3. Обеспечение граничных условий по свободно опертым торцам балки достигается за счет наложения связей по направлению степени свободы Z. Геометрическая неизменяемость расчетной схемы обеспечивается за счет наложения связи в узле поперечного сечения оси симметрии балки по направлению степени свободы UX. Распределенная масса задается преобразованием статической нагрузки от собственного веса балки μ·g.

Расчет производится в два этапа: сначала модальным анализом определяются собственные формы и частоты колебаний p, затем методом прямого интегрирования уравнений движения определяются прогибы η в поперечном сечении середины пролета балки во времени.

Воздействие постоянной поперечной силы, перемещающейся вдоль пролета балки, задается в виде сил, приложенных во всех узлах расчетной схемы по оси Z общей системы координат с масштабным множителем 1.0 по двум вариантам:

• Время запаздывания для каждой из узловых сил различно и определяется как t₀ = 2·(m-1)·Δt_int, где m – количество конечных элементов, отсчитываемое от опорного узла балки до рассматриваемого по ходу движения нагрузки. График, описывающий изменение нагрузки во времени, является единым для всех узловых сил. При построении графика узловая сила принимается с последовательными значениями: 0; 0.5·P; P; 0.5·P; 0 в моменты времени: 0; Δt_int; 2·Δt_int; 3·Δt_int; 4·Δt_int; 5·Δt_int, отсчитываемые от времени запаздывания t₀, в дальнейшие моменты времени узловая сила равна 0.
• Время запаздывания для всех узловых сил является единым и равно t₀ = 0. Каждой узловой силе соответствует свой график, описывающий изменение нагрузки во времени. При построении графика узловая сила в моменты времени от 0 до 2·(m-1)·Δt_int равна 0, в моменты времени от 2·(m-1)·Δt_int до 2·(m+1)·Δt_int включительно принимается с последовательными значениями: 0; 0.5·P; P; 0.5·P; 0, в дальнейшие моменты времени узловая сила равна 0, где m – количество конечных элементов, отсчитываемое от опорного узла балки до рассматриваемого по ходу движения нагрузки.

Для обоих вариантов задания воздействия подвижной нагрузки интервалы между моментами времени графиков изменения нагрузки равны времени прохождения половины расстояния между смежными узлами расчетной схемы со скоростью v: Δt_int = L / (2·n·v) = T₁ / (2·n) и соответствуют шагу интегрирования, где n – количество конечных элементов в расчетной схеме. Продолжительность процесса равна времени прохождения подвижной нагрузки по пролету балки l со скоростью v: t = l/v =T₁. Коэффициенты критического демпфирования по 1-й и 2-й собственным частотам приняты с минимальным значением ξ = 0.0001. Коэффициент пересчета для присоединенного статического загружения равен k = 0.981 (формирование масс). Количество узлов в расчетной схеме – 33. При решении используется метод модального интегрирования. Определение собственных форм и частот выполнено методом итерации подпространств. При расчете используется матрица сосредоточенных масс.

Расчетная схема

1-я — 16-я собственные формы колебаний

График изменения прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки во времени (м)

Амплитудное значение прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки и деформированные схемы в соответствующий момент времени (м)

Сравнение решений:

Собственные частоты колебаний p, рад/с

Пунктиром показано значение статического прогиба

График изменения прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки во времени по теоретическому решению (м)

Амплитудное значение прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки, м

Замечания: При аналитическом решении собственные частоты колебаний p свободно опертой балки определяются по формуле:

\[ p_{1} =\frac{n^{2}\cdot \pi^{2}}{l^{2}}\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I}{\mu }} , \]

где n = 1, 2, 3, 4, … –  номер формы собственных колебаний. {2}}\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I}{\mu }} \cdot t} \right)} \right)} \right]} ; \]

Диаграмма изгибающего момента — форма и кривизна

Диаграмма изгибающего момента — форма и кривизна

Изгибающий момент требуется для расчета балки и
также для расчета
наклон и
отклонение луча. Следующие примеры будут
проиллюстрировать, как написать уравнение изгибающего момента для различных типов
нагрузки, а затем построить диаграммы изгибающих моментов.

Случай I Изгибающий момент
точечная нагрузка

Изгибающий момент от точки
нагрузка является произведением нагрузки и ее перпендикулярного расстояния от
суть момента. как показано ниже.

Рассмотрим кантилевер, на который воздействует
точечная нагрузка на свободный конец.

Изгибающий момент на закрепленном конце = W
х л =
ВЛ

Изгибающий момент M _x при
расстояние x от свободного конца = W x
х = Wx

Это уравнение прямой и
построенная диаграмма изгибающего момента на приведенном выше рисунке показывает, что изменение
изгибающий момент по пролету кантилевера представляет собой прямую.

Случай II Изгибающий момент из-за
равномерно распределенная нагрузка

Изгибающий момент от равномерно
распределенная нагрузка (udl) составляет
равна интенсивности нагрузки

х длина груза

Икс
расстояние его центра от точки момента, как показано на
следующие примеры.

Изгибающий момент на закрепленном конце =
10 х 2
х 1= 20 кНм

Изгибающий момент M _x при
расстояние «х» от свободного конца = 10 х
(х) х
(х/2)= 0,5 х ²

которая является функцией второй степени
«x» и, следовательно, параболический.

Случай III Изгибающий момент из-за
равномерно изменяющаяся нагрузка

Изгибающий момент от переменной нагрузки равен
равна площади диаграммы нагрузки
x расстояние от его центра тяжести
с точки зрения момента.

Форма диаграммы изгибающего момента, обусловленная
к равномерно меняющейся нагрузке представляет собой кубическую параболу.

Случай IV Изгибающий момент от
пара

Изгибающий момент в сечении из-за
пара равна величине пары и в том же смысле
как пара.

Следующие примеры будут очень полезны для объяснения того, как
напишите уравнения для поперечной силы
и расчет изгибающих моментов и построить диаграммы для
консольные, свободно опертые и нависающие балки.

Пример 5-1

Пример 5-2

Пример 5-3

Пример 5-4

Вы также можете использовать следующие калькуляторы для изгибающего момента и поперечной силы

Калькулятор изгибающего момента для кантилевера

Калькулятор изгибающего момента для свободно опертой балки

Калькулятор изгибающего момента для нависающей балки

Калькулятор изгибающего момента для неподвижной балки

Дополнительные примеры решений

регулярно обновляемые

Отличные калькуляторы

Калькулятор преобразования напряжения
Расчет главного напряжения, максимального напряжения сдвига и их плоскостей

Калькулятор абсолютного анализа подвижной нагрузки
Определить Б. М. из-за движущихся грузов.

Калькулятор изгибающего момента
Расчет изгибающего момента и поперечной силы для свободно опертой балки

Калькулятор момента инерции
Расчет момента инерции плоских секций, например швеллер, угол, тройник и т. д.

Калькулятор железобетона
Расчет прочности железобетонной балки

Калькулятор распределения моментов
Решение неопределенных балок

Калькулятор прогиба и уклона
Расчет прогиба и уклона свободно опертой балки для многих случаев нагрузки

Калькулятор фиксированной балки
Инструмент для расчета изгибающего момента и поперечной силы для фиксированной балки для многих вариантов нагрузки Консоль

Калькулятор нависающей балки
Для SF и BM многих вариантов нагружения нависающей балки

Дополнительные ссылки

Викторина по гражданскому строительству
Проверьте свои знания по различным темам гражданского строительства

Исследовательские статьи
Исследовательские статьи, диссертации и диссертации

Список небоскребов мира
Contining Высотные здания по всему миру

Предстоящие конференции
Contining Список конференций, семинаров и практикумов по строительству

Профиль инженеров-строителей
Узнайте о Выдающиеся инженеры-строители

Профессиональные общества
Всемирные профессиональные общества инженеров-строителей

Продолжайте посещать для получения обновлений или Подпишитесь на наш список рассылки

Ищите на нашем веб-сайте больше.

..

Пожалуйста, расскажите о нас своим друзьям, если наш веб-сайт будет вам полезен

Другие полезные ссылки

Статика: распределенные нагрузки

Ключевые вопросы

• Что такое распределенная нагрузка?

• Учитывая распределенную нагрузку, как мы можем найти величину эквивалентной сосредоточенной силы?

• Учитывая распределенную нагрузку, как мы можем найти местоположение эквивалентной сосредоточенной силы?

Распределенные нагрузки — это силы, распределенные по длине, площади или объему. Большинство реальных нагрузок распределены, включая вес строительных материалов и силу ветра, воды или земли, воздействующую на поверхность. Давление, нагрузка, плотность веса и напряжение — все это названия, обычно используемые для распределенных нагрузок. Распределенная нагрузка — это сила на единицу длины или сила на единицу площади, изображенная рядом векторов силы, соединенных вместе вверху, и будет обозначаться как \(w(x)\), чтобы указать, что распределенная нагрузка является функцией \ (х\текст{. }\)

Например, хотя полку с книгами можно рассматривать как совокупность отдельных сил, более распространено и удобно представлять вес книг как равномерно распределенную нагрузку . Равномерно распределенная нагрузка — это нагрузка, имеющая везде одинаковое значение, т. е. \(w(x) = C\text{,}\) — константа.

а) Полка с книгами разного веса.
(b) Каждая книга представлена ​​как отдельный вес
(c) Все книги представлены как распределенная нагрузка.
Рисунок 7.8.1.

Мы можем использовать вычислительные инструменты, обсуждавшиеся в предыдущих главах, для обработки распределенных нагрузок, если мы сначала преобразуем их в эквивалентные точечные силы. Эта эквивалентная замена должна быть результатом 90 200 90 201 распределенной нагрузки, как описано в Разделе 4.7. Напомним, что эта равнодействующая сила действует на объект так же, как и исходная система сил.

Чтобы быть эквивалентной, точечная сила должна иметь:

В следующих двух разделах будет рассмотрено, как найти величину и местоположение эквивалентной точечной силы для распределенной нагрузки.

Подраздел 7.8.1 Эквивалентная величина

Величина распределенной нагрузки книг равна общему весу книг, деленному на длину полки

\begin{уравнение*}
w (x) = \ frac {\ Sigma W_i} {\ ell} \ text {.}
\end{уравнение*}

Представляет средний вес книги на единицу длины. Точно так же общий вес книг равен произведению распределенной нагрузки на длину полки или

.

\начать{выровнять*}
Вт \amp = w(x) \ell\\
\text{общий вес} \amp = \frac{\text{вес}}{\text{длина}} \times\ \text{длина полки}
\end{выравнивание*}

Эта общая нагрузка представляет собой просто площадь под кривой \(w(x)\text{,}\) и выражается в единицах силы. Если функция загрузки неравномерна, может потребоваться интегрирование для нахождения площади.

Пример 7.8.2. Книжная полка.

Обычная книга в мягкой обложке имеет толщину около \(\cm{3}\) и весит приблизительно \(\N{3}\text{.}\)

Какова функция загрузки \(w(x)\) для полки, полной книг в мягкой обложке, и каков общий вес книг в мягкой обложке на полке \(\m{6}\)?

Ответ.

\begin{выравнивание*}
w(x) \amp = \Nperm{100}\\
Вт \амп = \N{600}
\end{align*}

Решение.

Вес одной книги в мягкой обложке по отношению к ее толщине равен интенсивности нагрузки \(w(x)\text{,}\), поэтому

\begin{equation*}
w(x) = \frac{\N{3}}{\cm{3}}= \Nperm{100}\text{.}
\end{equation*}

Общий вес – это площадь под диаграммой интенсивности нагрузки, которая в данном случае представляет собой прямоугольник. Таким образом, \(\m{6}\) книжная полка, покрытая книгами в мягкой обложке, должна выдерживать

\begin{уравнение*}
W = w(x) \ell = (\Nperm{100})(\m{6}) = \N{600}\text{.}
\end{equation*}

Линия действия этой эквивалентной нагрузки проходит через центр тяжести прямоугольной нагрузки, поэтому она действует в точке \(x = \m{3}\text{.}\)

Подраздел 7.8.2 Эквивалентное местоположение

Чтобы использовать распределенную нагрузку в задаче на равновесие, вы должны знать эквивалентную величину для суммирования сил, а также знать положение или линию действия для суммирования моментов.

Линия действия эквивалентной силы проходит через центр тяжести площади под кривой интенсивности нагрузки. Для прямоугольной нагрузки центр тяжести находится в центре. Нам известны вертикальная и горизонтальная координаты этого центроида, но поскольку линия действия эквивалентной точечной силы вертикальна, и мы можем перемещать силу вдоль ее линии действия, вертикальная координата центроида в данном контексте не важна.

Аналогично, для треугольной распределенной нагрузки — также называемой равномерно изменяющейся нагрузкой — величина эквивалентной силы равна площади треугольника \(bh/2\), а линия действия проходит через центр тяжести треугольника . Горизонтальное расстояние от большего конца треугольника до центра тяжести равно \(\bar{x} = b/3\text{.}\)

По сути, мы находим точку равновесия, чтобы момент силы слева от центроида был таким же, как момент силы справа.

Приведенные ниже примеры иллюстрируют, как можно комбинировать вычисление как величины, так и местоположения эквивалентной точечной силы для ряда распределенных нагрузок.

Пример 7.8.3. Равномерно изменяющаяся нагрузка.

Найдите эквивалентную точечную силу и ее точку приложения для показанной распределенной нагрузки.

Ответ.

Эквивалентная нагрузка равна \(\lb{30}\) направленной вниз силе, действующей \(\ft{4}\) с левого конца.

Раствор 1.

Эквивалентная нагрузка представляет собой «площадь» под треугольной кривой интенсивности нагрузки и действует прямо вниз в центре треугольника. Эта треугольная нагрузка имеет основание \(\ft{6}\) и высоту\(\lbperft{10}\), поэтому

\begin{equation*}
W = \frac{1}{2} b h =\frac{1}{2}(\ft{6})(\lbperft{10}) =\lb{30}.
\end{equation*}

, а центроид расположен \(2/3\) пути от левого конца, поэтому

\begin{equation*}
\bar{x} = \ft{4}\text{.}
\end{equation*}

Решение 2.

Распределенные нагрузки могут иметь любую геометрическую форму или определяться математической функцией. Если нагрузка представляет собой комбинацию обычных форм, используйте свойства форм, чтобы найти величину и местоположение эквивалентной точечной силы, используя методы, описанные в разделе 7.5. Если распределенная нагрузка определяется математической функцией, проинтегрируйте, чтобы найти их площадь, используя методы раздела 7.7.

На что обратить внимание:

• Вы можете включить распределенную нагрузку или эквивалентную сосредоточенную силу на диаграмме свободного тела, , но не оба !

• Поскольку вы вычисляете площадь, вы можете разделить площадь на любые удобные формы. Итак, если вы не помните площадь трапеции с макушки, разбейте ее на прямоугольник и треугольник.

Подраздел 7.8.3 Приложения с распределенной нагрузкой

Как только вы преобразуете распределенные нагрузки в результирующую точечную силу, вы можете решить задачу так же, как и другие задачи в предыдущих главах этой книги. Обратите внимание, что хотя результирующие силы равны внешне эквивалентны распределенным нагрузкам, они не внутренне эквивалентны , как будет показано в главе 8.

Пример 7.8.4. Консольная балка.

Найти реакции при фиксированном соединении в \(A\text{.}\)

Ответ.

\begin{выравнивание*}
А_х\ампер = 0\\
A_y \amp = \N(16)\\
М \амп = \Nm{64}
\end{align*}

Решение.

Нарисуйте диаграмму свободного тела, заменив распределенную нагрузку эквивалентной сосредоточенной нагрузкой, затем примените уравнения равновесия.

\begin{выравнивание*}
\Sigma F_x \amp = 0 \amp \amp \rightarrow \amp A_x \amp = 0\\
\Sigma F_y \amp = 0 \amp \amp \rightarrow \amp A_y \amp = \N{16}\\
\Sigma M_A \amp = 0 \amp \amp \rightarrow \amp M_A \amp = (\N{16})(\m{4}) \\
\amp \amp \amp \amp \amp = \Nm{64}
\end{выравнивание*}

Пример 7.8.5. Лучевые реакции.

Найдите реакции в опорах показанной балки.

Ответ.

\begin{уравнение*}
B_y = F_y = \lb{295}, B_x = 0
\end{уравнение*}

Решение 1.