Группа схема: группа Схема, Краснодар

Содержание

Что такое схема-терапия

Наиболее распространенный подход среди существующих видов схема-терапии, когда терапевт работает один на один с пациентом. Как правило проводится с частотой 1 раз в неделю. Относится к долгосрочной терапии. Средний протокол лечения включает 40 сессий. В практическом применении при работе в индивидуальной схема-терапии выделяют 3 фазы:

Фаза 1. Диагностика, установления терапевтических отношений, построение концептуализации.
Фаза 2. Изменение схема-режимов с помощью экспериенциальных, когнитивных и поведенческих техник.
Фаза 3. Стимулирование автономии пациента.

Групповая схема-терапия (ГСТ) была разработана Джоан Фаррелл и Айдой Шоу (Farrell and Shaw, 1994), ее эффективность доказана на различных популяциях пациентов (амбулаторных, проходящих лечение в стационаре, находящихся на дневном стационаре).

В ГСТ используются терапевтические факторы экзистенциально-гуманистического подхода (Ялом) и расширяется понятие «ограниченного родительства», присутствующего в индивидуальной схема-терапии, до «семейного» родительства, способствующего коррекции эмоционального опыта замещающими родителями (терапевтами) и замещающими сиблингами (члены группы).

Групповая схема-терапия теоретически и концептуально соответствует модели индивидуальной схема-терапии. Основные различия находятся в адаптации стандартных схема-терапевтических интервенций (работа с воображением и ролевые игры с режимами) в работу группы. В этой модели 2 равных терапевта рассматриваются как необходимое условие установления адекватной привязанности с пациентами.

Схема-терапия пар позволяет партнерам получить доступ и переработать ключевые эмоции, связанные с ранними дезадаптивными схемами, и мешающими построению близких удовлетворяющих отношений. В ходе терапии партнеры учатся активировать здоровые режимы при коммуникации друг с другом. Схема-терапия пар может применяться как в парах, испытывающих сложности во взаимоотношениях, так и в дополнение к индивидуальной терапии, когда партнер объединяется с терапевтом, чтобы помочь исцелить ранние дезадаптивные схемы.

В индивидуальной схема-терапии терапевт практикует ограниченное родительство, чтобы стать «безопасной базой» для клиента, и терапевтические сессии становятся «безопасным убежищем». В терапии пар терапевт работает с парой, чтобы помочь каждому партнеру стать основной «безопасной базой» для другого, а отношения в паре становятся «безопасным убежищем» (Johnson, 2003).

Нередко в схема-терапии пар проводятся дополнительные индивидуальные сессии с каждым из партнеров для более глубокого понимания схем и режимов каждого партнера. На совместных сессиях присутствие партнера может мгновенно активировать ранние дезадаптивные схемы, вызывая быстрые и интенсивные эмоциональные реакции. Терапевт помогает каждому партнеру быстро идентифицировать схемы, копинг стратегии и режимы, возникающие при взаимодействии друг с другом, и создать корригирующий эмоциональный опыт для каждого партнера в паре.

Схема-терапия детей и подростков, помимо общих необходимых аспектов, таких как работа с ранними дисфункциональными схемами, базовыми эмоциональными потребностями и режимами, также включает особый подход к терапевтическим отношениям, основанный на теории привязанности. Мы фиксируем внимание на эмоциональных состояниях ребенка, важных для понимания потребностей моментах биографии, обеспечиваем адекватное возрасту психообразование и схема-коучинг для родителей. Многие техники и психообразование проводится в игровой форме с задействованием игрушек, комиксов и прочих соответствующих возрасту технологий.

В настоящий момент активно развивается новое направление — схема-терапия в гериатрической популяции. Эксперты в этой области уделяют особое внимание анамнестическим данным, касающимся ситуаций активации схем и способов совладания с ними, и на основании динамики проявления различных схем и режимов в течение жизни выделяют терапевтические мишени, актуальные для пожилого человека в момент обращения.

Бой Цоя на гитаре – схемы любимых песен

11 августа 2020

Виктор Цой – один из известнейших отечественных музыкантов, оказавший большое влияние на альтернативную музыку СССР и России. Его песни часто цитируют, исполняют на них каверы, играют дома и в кругу друзей. Фигура личности самого Виктора Цоя стала культовой, и по сей день является таковой.

Поклонники Цоя и его группы Кино, вдохновляясь его творчеством, и сами хотели бы научиться играть в манере своего любимого исполнителя. В этой статье мы поговорим о том, как играть характерным боем Виктора Цоя, чтобы правильно исполнять его песни.

Содержание:

«Звезда по имени солнце» бой Цоя

Цой «Пачка сигарет» аккорды и бой

Бой в песне «Кукушка»

Схема боя в песне «Группа крови»

На самом деле, манера игры Цоя основывается на все тех же базовых гитарных боях, которые мы рассматривали в других статьях – восьмерка, шестерка, четверка и игра перебором.

Самый известный бой Цоя

Самым известным и характерным штрихом Виктора Цоя является гитарный бой восьмерка, но с некоторыми отличиями. Так, Цой не делал пауз, как в классическом варианте этого боя, а играл сплошным штрихом. Посмотрите на схему ниже, чтобы лучше понять, о чем мы говорим.

Вниз – вниз-вверх – вниз – вниз-вверх – вниз – вниз-вверх – вниз – вниз-вверх

«Звезда по имени солнце» бой Цоя

Вторым по узнаваемости можно назвать бой из песни «Звезда по имени солнце». По сути, это обычный бой четверка, имеющий приглушку на третьем ударе, взгляните на схему.

Вниз-вверх – вниз с глушением – вверх-вниз-вверх – вниз с глушением

Цой «Пачка сигарет» аккорды и бой

Бой из песни «Пачка сигарет» — обыкновенная шестерка с двумя дополнительными ударами. Акцент делается на втором ударе по струнам.

Вниз-вверх – вниз с глушением – вверх – вниз-вверх – вниз с глушением – вверх.

Песню «Пачка сигарет» можно условно разделить на две части – куплет и припев. В куплете Виктор Цой использует бой с перебором на басах, который исполняет пальцами.

Нижняя басовая струна – вниз — вверх – верхняя басовая струна – вверх – вниз – вверх

На оригинальной записи, в этой части песен звучат несколько инструментов, но, играя соло на гитаре таким образом, как показано на схеме, можно воссоздать желаемый эффект.

В припеве начинается простой бой четверка, с глушением на третьем ударе.

Вниз – вверх – вниз с глушением – вверх

К слову, бой четверка с приглушкой используется и в песне «Восьмиклассница».

Бой в песне «Кукушка»

Эта очень популярная песня имеет довольно простой бой — здесь используется обычная разновидность боя «шестерка», выучить которую не составит особого труда.

Вниз –вниз – вверх –вверх –вниз –вверх

Схема боя в песне «Группа крови»

Гитарный штрих этой песни представляет собой обыкновенную «шестерку», но с добавленными ударами. Артист добавляет эти дополнительные штрихи для придания композиции особенной экспрессии — обратите внимание на то, как аккомпанемент сочетается с текстом, и как здорово здесь работает акцент на первом ударе и приглушке.

Вниз-вверх – вниз с приглушкой – вверх – вниз-вверх – вниз с приглушкой – вверх.

Изучая эти приемы, не забывайте заниматься под метроном. Игра Виктора Цоя отличается высокой скоростью, поэтому вам необходимо в достаточной мере отработать навыки на медленной скорости и постепенно её увеличивать. Как вы уже могли заметить, многие песни группы «Кино» играются классическими боями, такими как четверка, шестерка, восьмерка, которые часто встречаются у многих авторов-исполнителей. Изучив эти приемы, вы сильно улучшите свои навыки игры на гитаре и сможете аккомпанировать любым песням.

Теги:
гитары, уроки
Количество показов: 17962

Раздел 39.4 (022R): Групповые схемы — проект The Stacks

Напомним, что группа — это пара $(G, m)$, где $G$ — множество, а $m : G \times G \to G$ — отображение множеств со следующими свойствами:

(ассоциативность) $m(g, m(g’, g»)) = m(m(g, g’), g»)$ для всех $g, g’, g» \in G$,
(тождество) существует уникальный элемент $e \in G$ (называемый тождеством , единицей или $1$ в $G$) такой, что $m(g, e) = m(e, g) = g$ для всех $g \in G$, и
(обратное) для всех $g \in G$ существует $i(g) \in G$ такое, что $m(g, i(g)) = m(i(g), g) = e$, где $e$ — это тождество.

Таким образом, мы получаем отображение $e : \{ *\} \to G$ и отображение $i : G \to G$ так, что четверка $(G, m, e, i)$ удовлетворяет перечисленным выше аксиомам.

Гомоморфизмом групп $\psi : (G, m) \to (G’, m’)$ называется такое отображение множеств $\psi : G \to G’$, что $m'(\psi (g ), \psi (g’)) = \psi (m(g, g’))$. Это автоматически гарантирует, что $\psi (e) = e’$ и $i'(\psi (g)) = \psi (i(g))$. (Очевидное обозначение.) Мы будем использовать это ниже.

Определение 39.4.1. Пусть $S$ — схема.

Групповая схема над $S$ — это пара $(G, m)$, где $G$ — схема над $S$, а $m : G \times _ S G \to G$ — морфизм схем над $S$ со следующим свойством: для любой схемы $T$ над $S$ пара $(G(T), m)$ является группой.
Морфизм $\psi : (G, m) \to (G’, m’)$ групповых схем над $S$ — это морфизм $\psi : G \to G’$ схем над $S$, такой что для любого $T/S$ индуцированное отображение $\psi : G(T)\to G'(T)$ является гомоморфизмом групп.

Пусть $(G, m)$ — групповая схема над схемой $S$. В силу вышеизложенного (и обсуждения в разделе 39.2) мы получаем морфизмы схем над $S$: (тождественный) $e : S \to G$ и (обратный) $i : G \to G$ такие, что для каждого $ T$ четверка $(G(T), m, e, i)$ удовлетворяет аксиомам группы, перечисленным выше.

Пусть $(G, m)$, $(G’, m’)$ — групповые схемы над $S$. Пусть $f : G \to G’$ — морфизм схем над $S$. Из определения следует, что $f$ является морфизмом групповых схем над $S$ тогда и только тогда, когда коммутативна следующая диаграмма:
9f & G’ } \]

Лемма 39.4.2. Пусть $(G, m)$ — групповая схема над $S$. Пусть $S’ \to S$ — морфизм схем. Обратный образ $(G_{S’}, m_{S’})$ представляет собой групповую схему над $S’$.

Доказательство.
Опущено.
$\квадрат$

Определение 39.4.3. Пусть $S$ — схема. Пусть $(G, m)$ — групповая схема над $S$.

Схема замкнутых подгрупп схемы $G$ — это замкнутая подсхема $H \subset G$ такая, что $m|_{H \times _ S H}$ пропускается через $H$ и индуцирует структуру групповой схемы на $H$ над $S$.
Схема открытых подгрупп схемы $G$ — это открытая подсхема $G’ \subset G$ такая, что $m|_{G’ \times _ S G’}$ пропускается через $G’$ и индуцирует структуру групповой схемы на $G’$ над $S$.

В качестве альтернативы мы могли бы сказать, что $H$ является замкнутой схемой подгрупп $G$, если это групповая схема над $S$, снабженная морфизмом групповых схем $i : H \to G$ над $S$, который отождествляет $ H$ с замкнутой подсхемой в $G$.

Лемма 39.4.4. Пусть $S$ — схема. Пусть $(G, m, e, i)$ — групповая схема над $S$.

Замкнутая подсхема $H \subset G$ является схемой замкнутых подгрупп тогда и только тогда, когда $e : S \to G$, $m|_{H \times _ S H} : H \times _ S H \to G$ и $i|_ H : H \to G$ промножить через $H$.
Открытая подсхема $H \subset G$ является открытой схемой подгрупп тогда и только тогда, когда $e : S \to G$, $m|_{H \times _ S H} : H \times _ S H \to G$ и $i|_ H : H \to G$ промножить через $H$.

Доказательство.
Глядя на точки со значениями $T$, это приводит к хорошо известным условиям, характеризующим подмножества групп как подгруппы.
$\квадрат$

Определение 39.4.5. Пусть $S$ — схема. Пусть $(G, m)$ — групповая схема над $S$.

Мы говорим, что $G$ является гладкой групповой схемой , если структурный морфизм $G\to S$ гладок.
Мы говорим, что $G$ является плоской групповой схемой , если структурный морфизм $G \to S$ плоский.
Мы говорим, что $G$ является разделенной групповой схемой , если структурный морфизм $G \to S$ является разделенным.

При необходимости добавьте больше.

Групповые схемы и аффинные групповые схемы

В этом посте мы мотивируем понятие аффинных групповых схем и обсуждаем различные эквивалентные способы их определения.

Групповые схемы — чрезвычайно мощный и красивый набор объектов. Почему-то их часто не обсуждают в базовых курсах алгебраической геометрии. Одна из причин, по которой это может произойти, заключается в том, что хотя определение групповых схем относительно простое, можно легко вывести их основные свойства. Но быстро простые доказательства уступают место глубоким фактам и сложным механизмам (например, системам корней и представлениям), что делает их слишком большим отклонением от стандартного курса. Однако это позор, поскольку групповые схемы предлагают одни из самых ярких примеров многих естественных свойств схем.

Проще говоря, групповая схема — это групповой объект в категории схем (обычно по некоторой фиксированной схеме). Итак, это схема , снабженная морфизмами , и . Предполагается, что эти морфизмы представляют умножение группы, обратную функцию группы (т. е. ) и морфизм, выбирающий единичный элемент группы. Таким образом, групповые схемы — это схемы, как группы Ли для многообразий.

Сходство между групповыми схемами и группами Ли на этом не заканчивается. Место, которое групповые схемы занимают в алгебраической геометрии, во многом совпадает с положением групп Ли в дифференциальной геометрии. С одной стороны, они чрезвычайно просты. Свойства однородности, которыми они обладают благодаря своему просто транзитивному самодействию, вынуждают их быть чрезвычайно симметричными. Это, в свою очередь, заставляет их автоматически обладать многими желаемыми свойствами. С другой стороны, групповые схемы включают одни из самых сложных схем, с которыми можно столкнуться, например, на первом курсе по схемам (будет определено позже).

Другим источником сходства между групповыми схемами и группами Ли является их полезность по отношению к другим объектам. Говоря менее загадочно, одно из наиболее полезных свойств групповых схем заключается в том, что они воздействуют на другие схемы. Обычно можно сформулировать некоторое важное отождествление между точками схемы, сказав, что они являются в точности объектами на орбитах некоторого действия групповой схемы на схеме. Или можно выразить алгебро-геометрическую симметрию через действие некоторой групповой схемы на схему.

Последнее сходство между группами Ли и групповыми схемами, которое сейчас особенно важно для нас, — это огромная разница между компактными и некомпактными. Любой, кто прошел курс по группам Ли, хорошо знает о огромной разнице в теории, с которой приходится сталкиваться при попытке перехода между некомпактными группами Ли и их компактными аналогами. Это различие может быть еще больше в теории групповых схем, где два разных случая образуют два совершенно разных предмета.

А именно, пока не существует (полезного) топологического понятия компактности для схем, есть полезная замена — правильность. Таким образом, можно было бы ожидать, что мир групповых схем можно разделить на правильные и неправильные части. Но, в отличие от топологических пространств, которые существуют в бинарности, компактной и некомпактной, мир схем гораздо более нюансирован. А именно, неправильные схемы могут быть настолько несопоставимыми (очевидная нетривиальная дихотомия между разделенными и неразделенными) друг от друга, что мы хотим рассмотреть несколько более конкретный класс. А именно, схемы аффинных групп. Это два предмета, на которые обычно делится изучение групповых схем: аффинные групповые схемы (линейные групповые схемы) и собственно групповые схемы (абелевы многообразия).

Теперь, хотя абелевы многообразия (к которым относятся эллиптические кривые), несомненно, важны, в этом (и, надеюсь, в последующих) постах мы обсудим линейные групповые схемы. Причина для модификатора «линейный» из-за важной теоремы (той, которую легко доказать [две строки], когда у нас есть механизм], которая говорит, что каждая схема аффинной группы (над полем) вкладывается в . Они включают многие из важные группы, которые появляются, например, в теории представлений, а также группы, которые наиболее эффективно действуют на естественные алгебро-геометрические объекты.0005

Групповые объекты

Одним из других аспектов теории групповых схем, которая сильно отличается от теории групп Ли, является огромное присутствие функториальной точки зрения. А именно, групповые схемы будут просто схемами вместе с факторизацией типа где — некоторый функтор и — забывающий функтор.

На самом деле это верно в более общем плане, поэтому мы быстро рассмотрим эту идею. Начнем с того, что вспомним, что если категория с конечными произведениями и конечным объектом , то групповой объект in является объектом вместе с морфизмами (где произведение берется в !), , и таким, что выполняются следующие тождества

(ассоциативность)
(Инверсия) (где )
(Идентичность) (где уникальный изоморфизм).

Как следует из названий, эти условия просто говорят о том, что морфизмы, связанные с групповым объектом, должны удовлетворять обычным аксиомам, образующим группу. Следует отметить одну интересную вещь: в отличие от случая с группами, здесь мы фактически указываем обратную операцию, а также элемент идентичности, а не просто заявляем об их существовании. Это важно, потому что мы хотим, например, чтобы обратная операция действительно была морфизмом в категории.

Теперь групповые объекты в категории сами образуют категорию. В частности, если и два групповых объекта , то морфизм из в должен быть просто морфизмом в такой, что , где морфизм очевиден. Или, другими словами, морфизмы должны быть просто морфизмами базовых -объектов, которые коммутируют с соответствующими умножениями.

Краткое обсуждение леммы Йонеды

Теперь мы хотели бы переформулировать понятие групповых объектов в чисто функториальных терминах. Если вы считаете, что это кажется неприятной целью (что, на первый взгляд, не лишено смысла), вы быстро станете новообращенным. На самом деле групповые объекты чаще всего представляются нам в функториальной форме — это определение, приведенное выше, менее естественно. Но давайте поставим телегу впереди лошади.

Чтобы сделать наше функториальное определение групповых объектов строгим, нам нужно вспомнить вездесущую лемму Йонеды. Для этого напомним, что если — категория и объект , то обозначает контравариантный функтор (т. е. предпучок on на современном языке), заданный (с очевидным действием на стрелки).

Обратите внимание, что если является морфизмом, то естественное преобразование получается следующим образом. Для объекта мы получаем морфизм, переходя к . Можно быстро проверить, что это действительно естественное преобразование.

Таким образом, мы получаем функтор , где – категория функтора (т.е. категория предпучков на ). Затем лемма Йонеды сообщает нам кое-что интересное об этом функторе.

Теорема 1 (лемма Йонеды): Позвольте быть объектом , и объектом . Тогда карта, принимающая в, является биекцией.

Почему это влияет на наш функтор? Затем это говорит о том, что карта, отправляемая на, является биекцией на .

Но если является элементом , и является естественным преобразованием , которое мы определили выше, то что такое ? Ну, карта принимает . Таким образом, . Таким образом, мы видим, что это правая обратная биекция к биекции, определенной в лемме Йонеды, и поэтому сама должна быть биекцией.

Это говорит нам о том, что наш функтор является вложением (т. е. полностью точным). Таким образом, дать морфизм — это то же самое, что дать естественное преобразование.

Групповые объекты как функторы

Теперь, когда мы вспомнили утверждение леммы Йонеды, мы можем эффективно обсудить, как категоризировать определение группового объекта.

Прежде всего обратите внимание, что если и являются объектами категории , то мы можем канонически идентифицировать функторы и . В самом деле, естественный изоморфизм , на объекте принимает как где и карты проекции, связанные с .

Итак, имея это в виду, давайте посмотрим, что говорит лемма Йонеды об определении группового объекта. Что ж, дать морфизм — это то же самое, что дать морфизм , или с идентификацией, которую мы обсуждали в последнем абзаце, . Точно так же дать морфизм — это то же самое, что дать морфизм . И, наконец, задание морфизма — это то же самое, что задание морфизма.

Но групповой объект был больше, чем объект, оснащенный некоторыми картами. Эти карты должны были удовлетворять определенным эквациональным свойствам. Например, требовалось, например, то (аксиомы ассоциативности). Но и оба являются элементами . Но согласно лемме Йонеды (часть об инъективности), чтобы проверить, что два морфизма одинаковы, нам нужно только проверить, что их связанные естественные преобразования одинаковы.

Но для этого нужно только проверить, что для любого объекта из двух наборов карты равны. Но равенство отображений множества и явно эквивалентно ассоциативности отображений множества . На самом деле, используя точно такие же наблюдения, можно увидеть, что отображения и выполнение аксиом группового объекта эквивалентно утверждению, что , являющееся бинарной функцией, определяет структуру группы на с обратным отображением, заданным как , и элементом идентичности (обратите внимание, что поскольку терминальный объект всегда является просто точкой, поэтому он является постоянным, поэтому просто выбирает элемент идентичности).

Кроме того, обратите внимание, что если является морфизмом в , то по определению мы получаем карту множества, определяемую формулой

. Обратите внимание, что

чисто потому, что это естественное преобразование . Но, поскольку это карта умножения для структуры группы на , и аналогично структура умножения на , мы находим, что это карта группы.

Таким образом, мы видим, что групповой объект на самом деле определяет функтор, базовый функтор множества которого (т.е. композиция этого функтора с забывчивым функтором как раз .

Прослеживание рассуждения в обратном порядке показывает, что верно и обратное, и, таким образом, мы получаем следующую теорему:

Теорема 2: Задать групповой объект в — это то же самое, что задать факторизацию функтора через забывающий функтор .

Обратите внимание, что различные факторизации через забывчивый функтор соответствуют размещению различных групповых структур на одном и том же объекте .

Более того, мы можем продвинуть теорему 2 еще на один шаг вперед. А именно, что означает дать морфизм от группового объекта к групповому объекту? Это означает дать морфизм в таком, что . Но, по лемме Йонеды и приведенному выше наблюдению, это эквивалентно требованию, чтобы индуцированное отображение удовлетворяло . Но это как раз и есть утверждение, что для каждого объекта индуцированного множества карта на самом деле является картой групп. Таким образом, мы фактически определили естественное преобразование (где это ассоциированные с группой функторы). Более того, опять-таки по Йонеде, все подобные морфизмы групповых объектов возникают таким образом:

Теорема 3: Если и являются групповыми объектами в , с соответствующей факторизацией и , то задать морфизм групповых объектов — это то же самое, что дать естественное преобразование .

Из-за этих теоремов мы часто будем злоупотреблять обозначениями (злоупотребление, которое, как правило, чрезвычайно полезно) и обозначать групповой объект в и связанный с ним функтор символом . Так, например, вместо группы мы теперь будем писать .

Еще один способ сформулировать вышеизложенное состоит в том, что групповой объект в является представимым функтором (или, говоря более технически, представимым, если он состоит из забывчивого функтора to ), и to дать морфизм между групповыми объектами означает просто дать естественное преобразование между этими функторами.

Кроме того, с этого момента, как это принято, мы будем опускать любые ссылки на операции группового объекта и обращаться к нему только как , если не возникнет путаницы.

Групповые схемы

Теперь, когда мы настроили все эти обозначения, определить групповые схемы очень просто. А именно, для схемы мы определяем групповую схему над как групповой объект в . Мы почти всегда будем говорить только о групповых схемах над аффинной схемой (часто когда это поле), и в этом случае мы также будем ссылаться на групповые схемы «над».

Обратите внимание, что морфизмы группового объекта принимают форму -морфизмов , и (т. е. часть структурного морфизма ).

Одно приятное свойство групповых схем заключается в том, что достаточно указать их значения на аффинах. Грубо говоря, это связано с тем, что аффинные схемы над «плотны» в . Чтобы сделать это строгим, определим для схемы категорией полную подкатегорию аффинных схем в . Тогда утверждение будет следующим:

Теорема 4: Следующие наборы данных эквивалентны для объекта в :
Факторизация as для некоторого функтора .
Факторизация as для некоторого функтора .

Доказательство: У нас явно есть отображение данных в 1. на данные в 2., просто взяв факторизацию и сопоставив ее с . Покажем, что это «инъективно» и «сюръективно».

Для инъективности докажем кое-что более сильное в виде следующей леммы:

Лемма 5: Пусть и будут пучками в топологии Зарисского (можно просто представить и как представимое, если так проще). Тогда любой естественный изоморфизм можно поднять до изоморфизма . Более того, если и заданы факторизацией через , и является естественным изоморфизмом функторов к , то и .

Доказательство: Нам нужно определить для произвольной -схемы . Для этого пусть – открытое покрытие аффинно открытых подсхем, а для каждой пары – открытое покрытие аффинно открытых подсхем. Тогда у нас есть следующая диаграмма

, где первая карта в верхнем ряду является очевидной, а вторая представляет собой композицию следующих стрелок

, где первая пара стрелок представляет собой обычные ограничения, а вторая стрелка является произведением обычных стрелок. Итак, по сути, он берет кортеж и отправляет его по первой стрелке к кортежу, который в записи имеет, а по второй стрелке отправляет его к кортежу, который в записи имеет . Карты для определяются аналогично. Вертикальные стрелки — это стрелки и .

Теперь, поскольку

является эквалайзером и является инъективным, мы видим, что

также является эквалайзером. Аналогичное утверждение для также верно. Таким образом, мы получаем стрелку в силу универсального свойства эквалайзеров и того факта, что правые квадраты коммутируют (это как раз произведение квадратов естественности для ).

Уточнив оба открытых покрытия, можно проверить, что карта не зависит от открытого покрытия. И, конечно же, поскольку каждое И является изоморфизмом, то и отображение . Наконец, проверить естественность следует по определению, а естественность на аффинных схемах.

Наконец, если и были групповыми функторами и были естественным преобразованием групповых функторов, то ясно, что построенные отображения являются групповыми отображениями, и, таким образом, поднятое естественное преобразование на самом деле является желаемым изоморфизмом групповых функторов.

Теперь мы должны показать сюръективность этой карты. А именно, предположим, что мы создали групповую структуру для каждой аффинной схемы. Для произвольной -схемы определим структуру группы на to be , где множество всех аффинных открытых подсхем из , преобразованных в направленный набор путем определения to be (противоположность отображений включения). Теперь мы должны показать, что эта групповая структура функториальна в том смысле, что для каждой стрелки карта является групповой картой, где каждой задана описанная выше групповая структура. Но для каждого аффинного открытия получаем отображение , где аффинно открытые подсхемы которого являются групповым отображением. Затем восстанавливается индуцированная карта

как обратный предел всему .

В заключение нам нужно проверить, что этот функтор согласуется с исходной структурой группы при ограничении до . Но это только потому, что это сноп. Таким образом,

для каждой аффинной схемы и что этот изоморфизм является изоморфизмом групп и функториален в .

Хотя этот пример не самый полезный на практике, он чрезвычайно привлекателен с философской точки зрения. Это действительно говорит нам о том, что групповые функторы действительно определяются своим действием на аффинных схемах.

Мы составим групповую схему аффинной групповой схемы , если базовая схема аффинна.

Некоторые ключевые примеры

Теперь, когда мы знаем, как определять групповые схемы, давайте приведем несколько хороших примеров, о которых следует помнить. Для простоты в дальнейшем будем считать, что для некоторого кольца . Тем не менее, все части, которые имеют смысл для общей базы (например, функториальные определения и ), работают над любой базой.

В качестве, возможно, самого простого примера, давайте рассмотрим функтор (или, если мы подчеркиваем базу), который отправляет объекты (то есть просто думая об аддитивной группе). На морфизмах посылает -морфизм к связанной карте абелевых групп. Ясно видеть, что это функториально.

Но, чтобы заключить, что на самом деле это аффинная групповая схема, нам нужно показать, что , состоящая из забывчивого функтора , представима. Для этого просто отметьте, что это то же самое, что и . Таким образом, является аффинной групповой схемой над , с представляющим объектом .

Для полноты картины следует упомянуть, что представляют собой явные операции над. С этой целью нам нужно определить карты , , и (обратите внимание, что [или более технически] является терминальным объектом]. Что ж, дать такое — это то же самое, что дать карту -алгебры, это то же самое, что дать — алгебра map , и это то же самое, что задать -алгебра map Таким образом, пусть определяется как , as и . Можно легко проверить, что выполняются желаемые отношения, и что это действительно определяет ту же схему аффинной группы как

Мы добавим добавочную группу (или иногда просто «над»).

Следующий фундаментальный пример — следующий очевидный выбор после аддитивной группы. Определите функтор на объектах (с обычным произведением), а для -морфизма свяжите карту группы, приходящую из связанной карты кольца. Ясно видеть, что это действительно функтор.

Чтобы увидеть, что это схема аффинной группы, нам нужно показать, что ее композиция с забывающим функтором представима. Но можно быстро проверить, что это так, в частности, изоморфно (где точнее записывается как ).

Еще раз, давайте на самом деле скажем, что такое групповая операция. Еще раз, нам нужно определить карты , и . Как и прежде, это эквивалентно определению отображения -алгебры , и . Ну, определите, чтобы быть таким, что, как таковым, и как таковым, что. Еще раз быстро проверяется, что структура группы и отображения, которые затем определяют как функтор для , совпадают с .

Мы называем это мультипликативной группой над (или иногда просто над). Что вышеизложенное позволяет нам делать

В качестве обобщения последнего примера рассмотрим многомерные аналоги мультипликативной группы. А именно, пусть будет функтор, который ставит в соответствие каждой схеме группу , и который ставит в соответствие карте схемы связанную карту группы, предоставленную нам кольцевой картой . Быстро проверяется, что это функториально.

В третий раз, чтобы проверить, что действительно определяет аффинную групповую схему над , нам нужно показать, что композиция с забывчивым функтором представима. Но, как можно быстро проверить, схема

представляет . Таким образом, действительно является аффинной групповой схемой над .

Теперь, как становится ясно, определим операции над , нам нужно определить -алгебраические отображения

, , и . Мы определяем их следующим образом:

, где — запись сопряженной матрицы (которая является многочленом от !), и

, как и ожидалось.

Используя ту же идею, что и в предыдущем примере, можно определить . Можно показать, что он представлен .

В качестве следующего примера мы можем рассмотреть функтор, определенный на объектах с помощью

и на морфизмах, отправив естественную карту, предоставленную нам кольцевой картой .

Группа схема: группа Схема, Краснодар :: SpbClub