Косинус ф: Коэффициент мощности или косинус фи индукционного электрокотла

F.A.Q. Косинус Фи , КПД и другие параметры светодиодных светильников СД и СДУ арт.78

Часто задаваемые
вопросы относительно светодиодных светильников СД и СДУ(арт.78):

Вопрос: Почему в
информации о потолочном светодиодном светильнике
СД-35(арт.78)  указана потребляемая
мощность 35 Вт, при этом в светодиодном светильнике установлено всего 24
одноваттных светодиода и указан параметр «cos φ не менее 0,95»? Получается, что 24
Вт потребляют светодиоды, и ещё 11 Вт источник питания? Значит истинный cos φ
источника питания вашего светодиодного светильника не выше 0,5?

Ответ: Вся
приведенная информация о светильнике СД-35 достоверна. Дело вот в чем – в наших
светильниках СД-35(арт.78), СД-50(арт.78) и других этой серии мы действительно
используем одноваттные светодиоды, но «одноваттный» — это всего лишь ТИП
светодиода, что вовсе не означает, что светодиод потребляет ровно 1 Вт энергии.
Мы используем источник фиксированного тока для питания светодиодов (350 мА). У
используемых нами одноваттных светодиодах при токе 350 мА прямое падение
напряжения на светодиоде от 3,1 до 3,5 В (это зависит от бина светодиода).
Небольшие отклонения в параметрах светодиодов даже в пределах одной партии
обусловлены особенностями технологического процесса производства самих
светодиодов и являются естественными.

Получается, что реальная мощность
одного светодиода:

При этом суммарная мощность,
потребляемая светодиодами составит:

Источник тока в наших светодиодных
потолочных светильниках в реальности имеет значение cos φ не менее
0,95, вы можете убедиться в этом, подключив любой из наших светильников к
специальному измерительному прибору (фазометру, или интеллектуальному
мультиметру с функцией «True RMS»).

В итоге, суммарная потребляемая
мощность нашего светильника СД-35(арт.78) составляет:

Получается, что реальная
потребляемая мощность наших потолочных светодиодных светильников СД-35(арт. 78) составляет
от 27 до 31 Вт. Указанный параметр «Потребляемая мощность – 35 Вт» означает
возможное предельное максимальное потребление светильника, указанное в
ТУ, что, в свою очередь, является требованием «правильных» органов по
сертификации (заявление максимально возможной потребляемой мощности). Напомним,
что наши светильники сертифицированы в одном из авторитетнейших органов по
сертификации АНО «СветоС».

 Примечание. Режим
работы мощных светильников, таких как уличные
светодиодные светильники СДУ-50(арт.78), СДУ-70(арт.78), СДУ-90(арт.78),
СДУ-120(арт.78) и другие этой серии, а также промышленные светодиодные светильники СД(арт.78) 
и модификации светильников СУС) немного отличается от режима работы
офисных. Усилиями наших инженеров в драйверах указанных светильников cos φ составляет более 0,97 (вплоть до 0,98…0,99). При этом,
аналогично приведенному выше примеру, можно подсчитать реально потребляемую
мощность. В режиме питания мощных светильников ток через светодиоды обычно
выше, чем 350 мА (до 390 мА и выше), что оправдано эффективным теплоотводом
светильников.

Что такое косинус фи в электрике

Как найти электрическую мощность

Основная единица электрической мощности — Ватт. Электрическую мощность можно найти по следующей формуле:

Формула мощности

Давайте рассмотрим формулу, которую я привёл выше.

I (ток)- количество электричества, протекающее за определённый момент времени;

U(напряжение) — проделанная работа электрического поля по переносу заряду из точки А в точку В.

А теперь простыми словами: Два человека (это будет у нас ток) несут вместе один камень из точки А в точку В весом в 50 кг и тратят на это энергию (это напряжение), и один человек несёт камень массой 10 кг и тоже тратит энергию. Весовая категория у людей одинаковая. Если эти данные мы перенесём в нашу формулу, то выясним, что у двух людей мощность больше, чем у одного.

Приведу ещё формулы, по которым можно рассчитать электрическую мощность:

Формула мощности

Где: I-
ток, U- напряжение, R-
сопротивление

Как видите ничего сложного нет, потому что мы рассматриваем постоянный ток.

Косинус угла в электротехнике

Распределительная трансформаторная подстанция. рп в электрике что это. что такое рп в электрике

Итак, что такое косинус в электротехнике? Дело в том, что есть такое явление, как сдвиг фаз между током и напряжением

Он происходит по разным причинам, и иногда важно знать о его величине. Сдвиг фаз можно измерить в градусах, от 0 до 360

На практике степень реактивности (без указания индуктивного либо емкостного характера) выражают не в градусах, а в функции косинуса, и называют коэффициентом мощности:

cos fi

где:

• P – активная мощность, которая тратится на совершение полезной работы,
• S – полная мощность.

Полная мощность является геометрической суммой активной Р и реактивной Q мощностей, поэтому формулу коэффициента мощности можно записать в следующем виде:

Формула коэффициента мощности через активную и реактивную мощности

В иностранной литературе cos φ называют PF (Power Factor). Фактически, это коэффициент, который говорит о сдвиге сигнала тока по отношению к сигналу напряжения.

Легендарный Алекс Жук очень толково рассказал, что такое реактивная мощность, и всё по этой теме:

В видео подробно и доступно изложена вся теория по теме.

«Звезда»

При соединении обмоток звездой к началам обмоток присоединяют питающие провода (на схемах обозначены цветами), а концы обмоток соединяют между собой в одну точку, при этом подключение нулевого проводника в точку соединения концов обмоток необязательно так как это симметричная нагрузка. В свою очередь, точка соединения концов обмоток также называется нейтралью.

Есть два варианта представления этого соединения на электрических схемах, как в наглядном виде, действительно напоминающем трёхлучевую звезду (А), так и в более классическом для схем представлении (Б). Вас не должно смущать это отличие, когда вы читаете схему.

Активная, реактивная и полная мощности

Что такое дин рейка в электрике

Мы знаем, что реактивные нагрузки (индуктивности и конденсаторы) не рассеивают мощность, но то, что на них падает напряжение и через них протекает ток, даёт обманчивое впечатление, что они всё-таки рассеивают мощность. Эта «фантомная мощность» называется реактивной мощностью, а её единицей измерения является вольт-ампер реактивный (вар), а не ватт.

Реактивная мощность в математических выражениях обозначается прописной буквой Q. Фактическое количество используемой или рассеиваемой в цепи мощности называется активной мощностью и измеряется в ваттах (обозначается, как обычно, прописной буквой P). Комбинация реактивной и активной мощностей называется полной мощностью и является произведением напряжения и тока цепи без учёта угла сдвига фаз. Полная мощность измеряется в вольт-амперах (ВА) и обозначается прописной буквой S.

Как правило, величина активной мощности определяется сопротивлением рассеивающих ее элементов цепи, обычно резисторов (R). Реактивная мощность определяется величиной реактивного сопротивления (X). Полная мощность определяется полным сопротивлением цепи (Z). Поскольку при определении мощности мы имеем дело со скалярными величинами, любые исходные комплексные величины (напряжение, ток и полное сопротивление) должны быть представлены в показательной форме, а не в виде действительных или мнимых составляющих. К примеру, при определении активной мощности по величинам тока и сопротивления необходимо использовать величину тока в полярной системе координат, а не действительную или мнимую часть. При определении полной мощности по напряжению и полному сопротивлению обе эти комплексные величины должны быть представлены в полярной системе координат для применения скалярной арифметики.

Имеется несколько выражений, связывающих три типа мощности со значениями активного, реактивного и полного сопротивления (во всех случаях используются скалярные величины).

Обратите внимание, что для определения активной и реактивной мощности имеются два выражения. Для определения полной мощности есть три выражения, P = IE используется только для этой цели

Изучите схемы, приведённые ниже, и посмотрите, как определяются эти три типа мощности при резистивной нагрузке, при реактивной нагрузке и при резистивно-реактивной нагрузке (см. рисунки ниже).

Как правильно рассчитать

Что такое коэффициент

Активная мощность, как сделать правильный расчет?

Мощность электрического тока влияет на то, как быстро прибор сможет выполнить работу. К примеру, дорогой обогреватель, имеющий в 2 раза большую мощность, обогреет помещение быстрее, чем два дешевых, с меньшей в 2 раза мощностью. Получается, что выгоднее купить агрегат, имеющий большую мощность, чтобы быстрее обогреть холодное помещение. Но, в то же время, такой агрегат будет тратить существенно больше энергии, чем его более дешевый аналог.

Потребляемая мощность всех приборов в доме учитывается и при подборе проводки для прокладки в доме. Если не учитывать этого и в последующем включить в сеть слишком много приборов, то это вызовет перегрузку сети. Проводка не сможет выдержать мощность электрического тока всех приборов, что приведет к плавлению изоляции, замыканию и самовоспламенению проводки. В результате может начаться пожар, который может привести к непоправимым последствиям.

Однофазный синусоидальный ток в электрических цепях вычисляется по формуле Р = U x I x cos φ, где υ и Ι. Их обозначение шифруется следующим образом: среднеквадратичное значение напряжение и тока, а φ — фазный угол фаз между ними.

Для цепей несинусоидального тока электрическая ёмкость равна корню квадратному из суммы квадратов активной и реактивной производительности. Активная производительность характеризуется скоростью, которая имеет необратимый процесс преобразования электрической энергии в другие виды энергии. Данная ёмкость может вычисляться через силу тока, напряжение и активную составляющую сопротивления цепи r или её проводимость g по формуле P = I(2) x r = U(2) x g.

Реактивная мощность (Reactive Power)

Следует заметить, что:

• резистор потребляет активную мощность и отдаёт её в форме тепла и света.
• индуктивность потребляет реактивную мощность и отдаёт её в форме магнитного поля.
• конденсатор потребляет реактивную мощность и отдаёт её в форме электрического поля.

В любой электрической цепи как синусоидального, так и несинусоидального тока активная способность всей цепи равна сумме активных мощностей отдельных частей цепи, для трёхфазных цепей электрическая емкость определяется как сумма пропускной способности отдельных фаз. С полной производительностью S, активная связана соотношением P = S x cos φ.

В теории длинных линий (анализ электромагнитных процессов в линии передачи, длина которой сравнима с длиной электромагнитной волны) полным аналогом активной мощности является проходящая мощность, которая определяется как разность между падающей мощностью и отраженной производительностью.

Как найти реактивную полную мощность через активную? Данная производительность, характеризующая нагрузки, создаваемые в электротехнических устройствах колебаниями энергии электромагнитного поля в цепи синусоидального переменного тока, равна произведению среднеквадратичных значений напряжения U и тока I, умноженному на синус угла сдвига фаз φ между ними: Q = U x I x sin φ (если ток отстаёт от напряжения, сдвиг фаз считается положительным, если опережает — отрицательным).

Обозначение реактивной величины

Сдвиг фаз между напряжением и током

Фазовый сдвиг – показатель, описывающий разность исходных фаз двух параметров, имеющих свойство меняться во времени с одинаковыми скоростями и периодами. Именно сдвиг между силой и напряжением определяет, сколько будет значение угла фи.

В радиотехнической промышленности используются цепочки для получения асинхронного хода. Одна RC-цепь создает 60-градусный сдвиг, для получения 180-градусного для трехфазной структуры организуют последовательное соединение трех цепочек.

При трансформации электродвижущей силы во вторичных обмотках прибора для всех вариаций тока ее значение идентично по фазе таковому для первичной обмотки. Если обмотки трансформатора включить в противофазе, значение напряжения получает обратный знак. Если напряжение идет по синусоиде, происходит сдвиг на 180 градусов.

В простом случае (к примеру, включение электрического чайника) фазы двух показателей совпадают, и они в одно и то же время достигают пиковых значений. Тогда при расчете потребительской мощности применять угол фи не требуется. Когда к переменному току подключен электродвигатель с составной нагрузкой, содержащей активный и индуктивный компоненты (двигатель стиральной машинки и т.д.), напряжение сразу подается на обмотки, а ток отстает вследствие действия индуктивности. Таким образом, между ними возникает сдвиг. Если индуктивный компонент (обмотки) подменен использованием достижений химии в виде емкостного аккумулятора, отстающей величиной, напротив, оказывается напряжение.

Косинус фи не следует путать с другим показателем, рассчитываемым для комплексных нагрузок, – коэффициентом демпфирования. Он широко используется в усилителях мощности и равен частному номинального сопротивлению прибора и выходному – усилка.

Угол фазового сдвига

Виды мощностей

Мощностью называется измеряемая физическая величина, которая равна скорости изменения с преобразованием, передачей или потреблением системной энергии. Согласно более узкому понятию, это показатель, который равен отношению затраченного времени на работы к самому периоду, который тратится на работу. Обозначается в механике символом N. В электротехнической науке используется буква P. Нередко можно увидеть также символ W, от слова ватт.

Мощность переменного тока -это произведение силы тока с напряжением и косинусом сдвига фаз. При этом беспрепятственно можно посчитать только активную и реактивную разновидность. Узнать полное мощностное значение можно через векторную зависимость этих показателей и площади.

Основные мощностные разновидности

Активная мощность

Активной называется полезная сила, определяющая процесс прямого преобразования электроэнергии в необходимый вид силы. В каждом электроприборе преобразовывается она по-своему. К примеру, в лампочке получается свет с теплом, в утюге — тепло, а в электрическом двигателе — механическая энергия. Соответственно, показывает КПД устройства.

Активная разновидность

Реактивная мощность

Реактивной называется та, которая определяется при помощи электромагнитного поля. Образуется при работе электроприборов

Обратите внимание! Это вредная и паразитная мощностная характеристика, которая определяется тем, каков характер нагрузки. Для лампочки она равняется нулю, а для электродвигателя она может быть равна большим значением

Разница между величинами в том, что активно действующая мощностная характеристика показывает КПД устройств, а реактивная является передачей этого КПД. Разница также наблюдается в определении, символе, формуле и значимости.

Обратите внимание! Что касается значения, то вторая нужна лишь для того, чтобы управлять создавшимся напряжением от первой величины и преодолевать мощностные колебания. Обе измеряются в ваттах и имеют большое значение в электромагнитном излучении, механической форме генератора или акустической волне

Активно применяются в промышленности.

Реактивная разновидность

Полная мощность

Полная — это сумма активной с реактивной мощностью. Равна сетевому мощностному показателю. Это произведение напряжения с током в момент игнорирования фазы угла между ними. Вся рассеиваемая с поглощаемой и возвращаемой энергией — это полная энергия.

Это произведение напряжения и тока, единица измерения которого это ватт, перемноженный на ампер. При активности цепи, полная равняется активной. Если речь идет об индуктивной или емкостной схеме, то полная больше, чем активная.

Полная разновидность

Комплексная мощность

Это сумма всех мощностных показателей фаз источника электроэнергии. Это комплексный показатель, модуль которого равняется полному мощностному показателю электроцепи. Аргументом является фазовый сдвиг между электротоком с сетевым напряжением. Может быть выражена уравнением, где суммарный мощностный показатель, который генерируют источники электроэнергии, равен суммарному мощностному показателю, который потребляется в электроцепи.

Обратите внимание! Вычисляется посредством использования соответствующей формулы. Так, необходимо комплексное напряжение перемножить на комплексны ток или же удвоенное значение комплексного тока перемножить на импеданс

Также можно удвоенное значение комплексного напряжения поделить на удвоенное значение импеданса.

Комплексная разновидность

Способы увеличения «косинуса фи»

Вышеперечисленные последствия низкого cos φ с достаточной убедительностью говорят о том, что необходимо вести борьбу за высокий cos φ. К мерам увеличения cos φ относятся:

1. Правильный выбор типа, мощности и скорости вновь устанавливаемых двигателей;
2. Увеличение загрузки двигателей;
3. Недопущение работы двигателей вхолостую продолжительное время;
4. Правильный и высококачественный ремонт двигателей;
5. Применение статических (то есть неподвижных, невращающихся) конденсаторов.

Малый вес конденсаторов, отсутствие вращающихся частей, незначительные потери энергии в них, легкость обслуживания, безопасность и надежность в работе дают возможность широкого применения статических конденсаторов для повышения cos φ двигателей.

Подбирая величину емкости при параллельном соединении и емкости, можно добиться уменьшения угла сдвига фаз между напряжением и общим током при неизменной активной и реактивной мощности, потребляемой ветвью с индуктивностью. Этот угол можно сделать равным нулю. Тогда ток, текущий на общем участке цепи, будет иметь наименьшую величину и совпадать по фазе с напряжением сети.

Это явление называется компенсацией сдвига фаз и широко используется на практике. По экономическим соображениям невыгодно доводить угол φ до нуля, практически целесообразно иметь cos φ = 0,9 – 0,95.

Рассмотрим расчет емкости конденсаторов, которые нужно включить параллельно индуктивной нагрузке, чтобы повысить cos φ до заданной величины.

На рисунке 1, а изображена схема включения индуктивной нагрузки в сеть переменного тока. Для увеличения коэффициента мощности параллельно потребителю включена батарея конденсаторов. Векторная диаграмма начинается с построения вектора напряжения U. Ток I₁ вследствие индуктивного характера нагрузки отстает по фазе от напряжения сети на угол φ₁. Необходимо уменьшить угол сдвига фаз между напряжением U и общим током до величины φ. Иначе говоря, увеличить коэффициент мощности от значения cos φ₁ до значения cos φ.

Рисунок 1. Увеличение cos φ при помощи статических конденсаторов:а – схема включения; б – векторная диаграмма

Отрезок ос, представляющий активную слагающую тока I₁, равен:

ос = I₁ × cos φ₁ = оа × cos φ₁ .

Пользуясь выражением мощности переменного тока

P = U × I × cos φ ,

отрезок ос выразим так:

Ток на общем участке цепи I равен геометрической сумме тока нагрузки I₁ и тока конденсатора I_C.

Из треугольника оас и овс имеем:

ас = ос × tg φ₁ ;bс = ос × tg φ .

Из диаграммы получаем:

ab = od – ac – bc = ос × tg φ₁ – ос × tg φ = oc × (tg φ₁ – tg φ) .

Так как

abI_C

Вместе с этим, как было указано выше,

I_C = U × ω × C .

Следовательно,

Пример 1. Электрические двигатели шахты потребляют мощность 2000 кВт при напряжении 6 кВ и cos φ₁ = 0,6. Требуется найти емкость конденсаторов, которую нужно подключить на шины установки, чтобы увеличить cos φ до 0,9 при f = 50 Гц.

Решение.

cos φ₁ = 0,6;     φ₁ = 53°10’;     tg φ₁ = 1,335;

cos φ = 0,9;     φ = 25°50’;     tg φ = 0,484;

Что такое полная мощность на примере простой R-L цепи

Графики изменения мгновенных значений u,i:

Графики изменения мгновенных значений u,i:

φ — фазовый сдвиг между током и напряжением

Уравнение для S примет следующий вид 

Подставим вместо  и заменим амплитудные значения на действующие:

Значение S рассматривается как сумма двух величин , где

 и  — мгновенные активные и реактивные мощности на участках R-L.

Графики p,q,s:

Как видим из графика, наличие индуктивной составляющей повлекло за собой появление отрицательной части в полной мощности (заштрихованная часть графика), что снижает ее среднее значение. Это происходит из-за фазового сдвига, в какой-то момент времени ток и напряжение находятся в противофазе, поэтому появляется отрицательное значение S.

Итоговые выражения для действующих значений:

Активная составляющая сети выражается в ваттах (Вт), а реактивная в вольт-амперах реактивных (вар).

Полная мощность сети S, обусловлена номинальными данными генератора. Для генератора она обусловлена выражением:

Для нормальной работы генератора ток в обмотках и напряжение на зажимах не должны превышать номинальные значения I_н, U_н.  Для генератора значения P и S одинаковы, однако все-таки на практике условились S выражать в вольт-амперах (ВА).

Также энергию сети можно выразить через каждую составляющую отдельно:

Где S, P, Q – соответственно активное, реактивное и полное сопротивление сети. Они образуют треугольник мощностей:

Треугольник мощностей с преобладающей индуктивной нагрузкой

Если вспомнить теорему Пифагора, то из прямоугольного треугольника можно получить такое выражение:

Реактивная составляющая в треугольнике является положительной (Q_L), когда ток отстает от напряжения, и отрицательной (Q_C), когда опережает:

Треугольник мощностей с преобладающей емкостной нагрузкой

Для реактивной составляющей сети справедливо алгебраическое выражение:

Из чего следует что индуктивная и емкостная энергия взаимозаменяемы. То есть если вы хотите уменьшить влияние индуктивной части цепи, вам необходимо добавить емкость, и наоборот. Ниже пример данной схемы :

Схема компенсации реактивной составляющей

Векторная диаграмма показывает влияние конденсатора на cosφ. Как видно, что при включении конденсатора cosφ₂> cosφ₁ иI_л<I.

Векторная диаграмма

Связь между полной и реактивной энергии выражается:

Отсюда:

сosφ – это коэффициент мощности. он показывает какую долю от полной энергии составляет активная энергия. Чем ближе он к 1, тем больше полезной энергии потребляется из сети.

Соединение в треугольник электроприемников и конденсаторных батарей.

Соединение в треугольник обмоток электродвигателей показано на рисунках 4, а – в. При этом на рисунке 4, а обмотки и соединены и расположены треугольником; на рисунке 4, б обмотки соединены треугольником, но расположены произвольно; на рисунке 4, в обмотки расположены звездой, но соединены в треугольник. На рисунке 4, г обмотки расположены треугольником, но соединены в звезду.

Рисунок 4. Соединение в треугольник электроприемников.

Все эти рисунки подчеркивают, что дело отнюдь не в том, как расположены изображения электроприемников на чертежах (хотя их часто удобно располагать в соответствии с видом соединения), а в том, что с чем соединено: концы (начала) всех обмоток между собой или конец одной обмотки с началом другой. В первом случае получается соединение в звезду, во втором – в треугольник.

Соединение в треугольник конденсаторных батарей показано на рисунке 4, д.

На рисунке 4, е показано соединение в треугольник ламп. Хотя лампы территориально разбросаны по разным квартирам, но они объединены сначала в группы в пределах каждой квартиры, затем в группы по стоякам 2 и, наконец, эти группы соединены в треугольник на вводном щите 1. Заметьте: до вводного щита нагрузка трехфазная, после вводного щита (в стояках и квартирах) однофазная, хотя она и включена между двумя фазами.

На каком основании нагрузка, питающаяся от двух фаз названа однофазной? На том основании, что изменения тока в обоих проводах, к которым присоединена нагрузка, происходят одинаково, то есть в каждый момент ток проходит через одни и те же фазы.

Видео 1. Соединение треугольником

1 Отсутствие тока в замкнутом контуре еще не означает, что в фазных обмотках нет тока. Токи в фазных обмотках соответствуют их нагрузкам.

Выводы обмоток

Для сетей переменного тока 50 Гц линейное напряжение выше фазного в квадратный корень из трёх раз то есть примерно в 1.

От того, выберем мы один или другой, будет зависеть в какую сторону начнет вращаться двигатель. Однако, по крайней мере, можно использовать 3-фазное подключение треугольником. Это позволяет использовать по полной КПД электродвигателя, согласно техпаспорта.

У каждого конца свое буквенное и числовое обозначение. На рисунке 4 приведена схема включения в трехфазную четырехпроводную сеть осветительной и силовой нагрузок.

К тому же агрегат сильно нагревается в процессе работы. Поэтому электродвигатели асинхронного типа со средней и большой мощностью чаще всего подключают по схеме звезда.

Концы всех трех обмоток соединяют в одну общую точку, так называемую нейтраль. При помощи тестера провода прозванивают, чтобы найти катушки. По полученным векторным уравнениям можно для равномерной нагрузки фаз построить векторную диаграмму рис.

Концы всех трех обмоток соединяют в одну общую точку, так называемую нейтраль. В таком случае этот двигатель можно будет использовать как в трёхфазной сети с линейным напряжением В подключение звезда , так и в однофазной сети В подключение треугольником через конденсатор. Форму треугольника предает эргономичное размещение соединения обмоток. При замыкании цепи поплавком будет замыкаться цепь катушки пускателя, и включаться электродвигатель, при размыкании — будет отключаться питание электродвигателя.

К тому же агрегат сильно нагревается в процессе работы. Фазные обмотки генератора образуют замкнутый контур с малым внутренним сопротивлением.

При большой мощности двигателя, в схему потребуется внесение пускового конденсатора. Каминский, г. Сдвиг на такой угол предназначен для создания вращения магнитного поля. Это может произойти из-за неисправного пускателя, или при перекосе фаз когда напряжение в одной из фаз сильно меньше, чем в двух других.
Подключение трехфазного двигателя по схеме звезды и треугольника

https://youtube.com/watch?v=PjZextDphQU

Оцените статью:

Косинус — График, Значение, Период, Примеры

Косинус — одно из основных математических тригонометрических соотношений. Отношение длин стороны, прилежащей к углу, и гипотенузы прямоугольного треугольника называется функцией косинуса, которая изменяется при изменении угла. Он определяется в контексте прямоугольного треугольника для острых углов. Косинус используется для моделирования многих реальных сценариев — радиоволн, приливов и отливов, звуковых волн, музыкальных тонов, электрических токов.

Функция косинуса обозначается просто как cos x, где x — угол. В этой статье мы изучим основные свойства косинуса, его график, область определения и диапазон, производную, интеграл и разложение косинуса в степенной ряд. Cos x является периодической функцией и имеет период 2π.

1.	Что такое косинус?
2.	Косинус Значение
3.	График косинуса
4.	Значения косинуса
5.	Свойства функции косинуса
6.	Косинусные тождества
7.	Часто задаваемые вопросы о функции косинуса

Что такое косинус?

Косинус или cos x — это периодическая функция в тригонометрии. Рассмотрим единичный круг с центром в начале координат плоскости. Переменная точка P движется по окружности этой окружности. Из рисунка видно, что P находится в первом квадранте, а OP образует острый угол x радиан с положительной осью x. PQ — перпендикуляр, опущенный из точки P на горизонтальную ось. Таким образом, треугольник образуется путем соединения точек O, P и Q, как показано на рисунке, где OQ — основание, а PQ — высота треугольника.

Следовательно, функция косинуса для приведенного выше случая может быть математически записана как:

cos x = OQ/OP, Здесь x — острый угол, образованный между гипотенузой и основанием прямоугольного треугольника.

Косинус Значение

Косинус можно определить как отношение длины основания к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Математически формула функции косинуса относительно сторон прямоугольного треугольника записывается как:

cos x = Смежная сторона/Гипотенуза = Основание/Гипотенуза, где x — острый угол между основанием и гипотенузой.

График косинуса

Как показано на изображении выше, мы отмечаем, что cos x = OQ/OP = OQ/1 = OQ. Поскольку x изменяется, значение косинуса изменяется с изменением длины OQ. Теперь изучим изменение функции косинуса в четырех квадрантах координатной плоскости.

Случай 1: Изменение OQ в первом квадранте.

Предположим, что изначально P находится на горизонтальной оси. Рассмотрим движение P на 90° или π/2 рад. На следующем рисунке показаны различные положения Q для этого движения. Ясно, что длина OQ уменьшилась от начального значения 1 (когда x равно 0 радианам) до конечного значения 0 (когда x равно π/2 радианам).

Случай 2: Изменение OQ во втором квадранте.

Теперь мы проверим положение P во втором квадранте, как мы делали это в первом квадранте, и проверим, как изменяется значение функции косинуса. P впоследствии перемещается из 9от 0° до положения 180°. В этой фазе движения длина или величина OQ увеличивается, а значение косинуса уменьшается со значения 0 при 90° до минимума -1 при 180°.

Случай 3: Изменение OQ в третьем квадранте.

Когда P перемещается из положения 180° в положение 270°, хотя длина или величина OQ уменьшается. Но поскольку направление вдоль отрицательной оси y, фактическое значение cos x увеличивается с -1 до 0. Таким образом, значение косинуса для угла x увеличивается.

Случай 4: Изменение OQ в четвертом квадранте.

Наконец, когда P перемещается из положения 270° в положение 360°, OQ увеличивается с 0 до 1 (снова). Длина или величина OQ увеличивается вместе с увеличением алгебраического значения OQ. Таким образом, значение функции косинуса для угла x увеличивается.

Теперь мы можем изобразить это изменение на графике. Горизонтальная ось представляет входную переменную x как угол в радианах, а вертикальная ось представляет значение функции косинуса для x. Объединив реакцию изменения значения PQ для всех четырех квадрантов, мы получили полный график зависимости cos x от x для одного полного цикла от 0 до 2π радиан (от 0° до 360°). Полученный таким образом график показан ниже:

Значения косинуса

Мы изучаем значение функции косинуса для некоторых конкретных углов, так как их легко запомнить. Эти значения косинуса используются при решении различных математических задач. Некоторые из этих значений косинуса перечислены ниже в тригонометрической таблице:

Свойства функции косинуса

Свойства косинуса зависят от квадранта, в котором находится угол. Функция косинуса является специальной тригонометрической функцией и имеет множество свойств. Некоторые из них перечислены ниже:

• График cos x повторяется после 2π, что предполагает периодичность функции с периодом 2π.
• Cos x — четная функция, поскольку cos(−x) = cos x.
• Областью определения функции косинуса являются все действительные числа в диапазоне [-1,1]. 9{2n}}{(2n)!}\)

Идентичности функции косинуса

В тригонометрии есть несколько тождеств, связанных с функцией косинуса. Эти тождества очень полезны при решении различных математических задач. Некоторые из них перечислены ниже:

• cos x = 1/сек x
• Функция, обратная косинусу = cos ^-1 x = arccos x, где x лежит в [-1, 1]
• sin ² х + cos ² х = 1
• cos (x + y) = cos x cos y — sin x sin y
• cos (x — y) = cos x cos y + sin x sin y
• cos 2x = cos ² x — sin ² x = 2 cos ² x — 1 = 1 — 2 sin ² x
• Производная от cos x: d(cos x)/dx = -sin x
• Интеграл функции косинуса: ∫cos x dx = sin x + C, где C – постоянная интегрирования.

Связанные темы

• Синусоидальная функция
• Обратные тригонометрические соотношения
• Тригонометрическая таблица
• Тригонометрические соотношения

Важные замечания о функции косинуса

• Функция косинуса может быть математически записана как:
  cos x = смежная сторона/гипотенуза = основание/гипотенуза
• Функция косинуса — это периодическая функция с периодом 2π.
• Область определения cos x равна (−∞, ∞), а диапазон равен [−1,1].

Часто задаваемые вопросы о функции косинуса

Что такое косинус в тригонометрии?

Косинус угла является тригонометрической функцией. Отношение длин стороны, прилежащей к углу, и гипотенузы прямоугольного треугольника называется функцией косинуса, которая изменяется при изменении угла. Обычно его обозначают cos x, где x — угол между основанием и гипотенузой.

Каковы свойства косинуса?

Некоторые свойства функции косинуса: 9{2n}}{(2n)!}\)

Что означает косинус?

Косинус можно определить как отношение длины основания к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Он дает значение функции косинуса для угла x, обозначаемое как cos x.

Что такое обратная тригонометрическая функция функции косинуса?

Обратная функция косинуса = cos ^-1 x = arccos x, где x лежит в [-1, 1]. Это функция, обратная косинусу, и произносится как «арккосинус» или «арккосинус».

Как записать функцию косинуса?

Функция косинуса может быть записана как cos x = Смежная сторона/Гипотенуза = Основание/Гипотенуза

Как выглядит график косинуса?

Кривая функции косинуса представляет собой кривую вверх-вниз, которая повторяется через каждые 2π радиан.

Что такое период функции косинуса?

Период функции — это когда функция имеет определенное горизонтальное смещение P, в результате чего получается функция, равная исходной функции, т. е. f(x+P) = f(x) для всех значений x в пределах домен ф. Период функции косинуса равен 2π.

Является ли функция косинуса четной или нечетной?

Функция f(x) является четной функцией, если f(-x) = f(x) для всех x, и нечетной, если f(-x) = -f(x) для всех x. Функция косинуса является четной функцией, потому что cos(−x) = cos x.

Какое отношение косинуса?

Отношение косинуса равно отношению длины основания прямоугольного треугольника к длине гипотенузы.

Что такое область значений функции косинуса?

Областью определения функции косинуса являются все действительные числа, поскольку cos x определен для всех действительных чисел R.

Что такое диапазон Cos x?

Диапазон косинуса равен [-1, 1], поскольку значение cos x колеблется в пределах интервала [-1, 1], так как это периодическая функция и период, равный 2π.

Косинус

Косинус, записываемый как cos⁡(θ), является одной из шести основных тригонометрических функций.

Определения косинуса

Тригонометрические функции обычно обсуждаются двумя основными способами: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего вводится определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, за которым следуют их определения в терминах единичной окружности.

Определение прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника с острым углом θ значение синуса этого угла определяется как отношение длины прилегающей стороны к длине гипотенузы.

Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:

• Смежный: сторона, следующая за θ, которая не является гипотенузой
• Напротив: сторона, противоположная θ.
• Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Пример:

Найдите cos(⁡θ) для прямоугольного треугольника ниже.

Мы также можем использовать функцию косинуса при решении реальных задач, связанных с прямоугольными треугольниками.

Пример:

Самолет пролетает над человеком. Человек записывает угол подъема 25 °, когда расстояние по прямой (гипотенуза треугольника) между человеком и самолетом составляет 14 миль. Каково горизонтальное расстояние между самолетом и человеком?

Учитывая вышеприведенную информацию, мы можем построить прямоугольный треугольник так, что x — это расстояние по горизонтали между человеком и самолетом, расстояние по прямой между человеком и самолетом — это гипотенуза, а расстояние по вертикали между концевые концы x и гипотенуза образуют прямой угол треугольника. Затем мы можем найти горизонтальное расстояние x, используя функцию косинуса:

x = 14 × cos⁡(25°) ≈ 12,69

Горизонтальное расстояние между человеком и самолетом составляет около 12,69миль.

Определение единичной окружности

Тригонометрические функции также могут быть определены как значения координат на единичной окружности. Единичная окружность — это окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника допускает углы от 0 ° до 90 ° (0 и в радианах). Использование определений единичного круга позволяет нам расширить область применения тригонометрических функций на все действительные числа. См. рисунок ниже.

Учитывая точку (x, y) на окружности единичного круга, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, как показано на рисунке. В таком треугольнике гипотенуза — это радиус единичной окружности, или 1. θ — это угол, образованный между начальной стороной угла вдоль оси x и конечной стороной угла, образованного вращением луча по часовой стрелке или против часовой стрелки. Конечная сторона угла является гипотенузой прямоугольного треугольника и является радиусом единичной окружности. Поэтому его длина всегда равна 1. Таким образом, мы можем использовать определение косинуса прямоугольного треугольника, чтобы определить, что

означает, что значение x любой точки на окружности единичного круга равно cos⁡(θ).

В отличие от определений тригонометрических функций, основанных на прямоугольных треугольниках, это определение работает для любого угла, а не только для острого угла прямоугольного треугольника, если он находится в области определения cos⁡(θ). Область определения функции косинуса равна (-∞, ∞), а диапазон функции косинуса равен [-1, 1].

Значения функции косинуса

Существует множество методов, которые можно использовать для определения значения косинуса, например, обращение к таблице косинусов, использование калькулятора и аппроксимация с использованием ряда Тейлора для косинуса. В большинстве практических случаев нет необходимости вычислять значение косинуса вручную, и будет предоставлена ​​таблица, калькулятор или какой-либо другой справочник.

Калькулятор косинуса

Ниже приведен калькулятор для определения значения косинуса угла или угла из значения косинуса.

Обычно используемые углы

Хотя мы можем найти cos(θ) для любого угла, есть некоторые углы, которые чаще используются в тригонометрии. Ниже приведены 16 часто используемых углов как в радианах, так и в градусах, а также координаты соответствующих им точек на единичной окружности.

Рисунок выше служит ориентиром для быстрого определения косинусов (значение x) и синусов (значение y) углов, которые обычно используются в тригонометрии. Как видно из рисунка, косинус имеет значение 0 при 90° и значение 1 при 0°. Синус следует противоположному образцу; это потому, что синус и косинус являются кофункциями (описаны позже). Другими часто используемыми углами являются 30° (), 45° (), 60° () и их соответствующие кратные. Значения косинуса и синуса этих углов стоит запомнить в контексте тригонометрии, так как они очень часто используются.

Один из методов, который может помочь в запоминании этих значений, состоит в том, чтобы выразить все значения cos(θ) в виде дробей, включающих квадратный корень. Начиная с 0° и увеличивая до 90°, cos⁡(0°)=1=. Последующие значения cos(30°), cos(45°), cos(60°) и cos(90°) следуют шаблону, так что, используя значение cos(0°) в качестве эталона, найти значения косинуса для последующих углов, мы просто уменьшаем число под знаком радикала в числителе на 1, как показано ниже:

От 90° до 180° вместо этого мы увеличиваем число под радикалом на 1, но также должны учитывать квадрант, в котором находится угол. Косинус отрицателен в квадрантах II и III, поэтому значения будут равны, но отрицательный. В квадрантах I и IV значения будут положительными. Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений. Аналогичный метод запоминания можно использовать и для синуса. При необходимости обратитесь к синусоидальной странице.

Зная значения косинуса и синуса для углов в первом квадранте, мы можем определить их значения для соответствующих углов в остальных квадрантах координатной плоскости с помощью опорных углов.

Опорные углы

Опорный угол — это острый угол (<90°), который может использоваться для представления угла любой величины. Любой угол в координатной плоскости имеет опорный угол в диапазоне от 0° до 90°. Это всегда наименьший угол (относительно оси абсцисс), который можно составить из конечной стороны угла. На рисунке ниже показан угол θ и его опорный угол θ'.

Поскольку θ’ является опорным углом θ, значения cos⁡(θ) и cos⁡(θ’) равны. Например, 30° — это исходный угол, равный 150°, и если мы обратимся к единичному кругу, то увидим, что косинусы обоих имеют величину , хотя и имеют разные знаки. Поскольку у всех углов есть опорный угол, нам действительно нужно знать только значения cos⁡(θ) (а также других тригонометрических функций) в квадранте I. Все другие соответствующие углы будут иметь значения одинаковой величины, и мы просто нужно обратить внимание на их знаки в зависимости от квадранта, в котором лежит конечная сторона угла. Ниже приведена таблица, показывающая знаки косинуса, синуса и тангенса в каждом квадранте.

После определения эталонного угла мы можем определить стоимость функций TriGonometric в любом другом кадритете в других кацентах. применяя соответствующий знак к их значению для эталонного угла. Следующие шаги могут быть использованы для нахождения исходного угла заданного угла θ:

1. Вычтите 360° или 2π из угла столько раз, сколько необходимо (угол должен быть в пределах от 0° до 360° или от 0 до 2π). Если результирующий угол находится в диапазоне от 0° до 90°, это опорный угол.
2. Определить, в каком квадранте лежит конечная сторона угла (начальная сторона угла проходит вдоль положительной оси абсцисс)
3. В зависимости от того, в каком квадранте находится конечная сторона угла, используйте уравнения в таблице ниже, чтобы найти опорный угол. В квадранте I θ’=θ.

Пример:

Найти cos⁡(120°).

1. θ уже находится между 0° и 360°
2. 120° лежит в квадранте II
3. 180° — 120° = 60°, поэтому опорный угол равен 60°

. 120 ° находится в квадранте II, а косинус отрицателен во втором квадранте, поэтому:

Пример:

Найти cos⁡(1050°).

1. 1050° — 360° = 690° — 360° = 330°
2. 330° лежит в квадранте IV
3. 360° — 330° = 30°, поэтому опорный угол равен 30°

. 330° находится в квадранте IV, а косинус положителен в квадранте IV, поэтому:

Свойства функции косинуса

Ниже приведены некоторые свойства функции косинуса, которые могут быть полезны при работе с тригонометрическими функциями.

Косинус — это кофункция синуса

Кофункция — это функция, в которой f(A) = g(B), учитывая, что A и B — дополнительные углы. В контексте косинуса и синуса:

cos⁡(θ) = sin⁡(90° — θ)

sin⁡(θ) = cos⁡(90° — θ)

Пример:

cos⁡(30 °) = sin⁡(90° — 30°) = sin⁡(60°)

Ссылаясь на единичный круг, показанный выше, мы можем подставить значения для cos⁡(30°) и sin⁡(60°) и увидеть, что :

Косинус — четная функция

Четная функция — это функция, в которой f(x)=f(-x), что означает, что отображение графика по оси Y даст тот же график. Таким образом,

cos⁡(θ) = cos⁡(-θ)

Пример:

cos⁡(60°) = cos⁡(-60°)

cos⁡(60°) = cos⁡(300°) )

Ссылаясь на единичный круг, мы видим, что cos⁡(60°)= и cos⁡(-60°) эквивалентно cos⁡(300°), который также равен . Это только один пример, но это свойство верно для всех θ.

Косинус – периодическая функция

Периодическая функция – это функция f, в которой существует некоторое положительное значение p, такое что

f(x+p) = f(x)

для всех x в области значений f, p — наименьшее положительное число, для которого f является периодическим, и называется периодом f.

Тригонометрические функции обычно используются для моделирования периодических явлений из-за их периодичности; независимо от того, с какой точки мы начинаем на единичной окружности, если мы пройдем расстояние 2π (360 °) по единичной окружности от этой точки, мы вернемся в исходную точку. Если мы посмотрим на функцию косинуса, то обнаружим, что она повторяется каждые 2π, поэтому 2π — это период функции косинуса. Мы можем записать это как:

cos⁡(θ+2π) = cos⁡(θ)

Для учета нескольких полных оборотов это также можно записать как

cos⁡(θ+2πn) = cos⁡(θ)

, где n равно целое число.

На рисунке ниже показан пример такой периодичности.

Синим цветом мы видим, что . . Если мы добавим 2π к , мы получим угол, показанный красным цветом, . Как видно из рисунка, несмотря на разную степень поворота в обоих углах, их конечные стороны совершенно одинаковы, а это означает, что . Мы могли бы добавить еще 2π и все равно увидели бы, что имеет то же значение косинуса, что и . Такова природа периодических функций. называются котерминальными углами; это углы с одинаковыми начальными и конечными сторонами, но с разными поворотами.

Примеры:

1.

2.

График косинуса

График косинуса является периодическим, т. е. повторяется бесконечно и имеет область значений -∞ Ниже приведен график y = cos⁡(x) в интервале [0, 2π], показывающий только один период функции косинуса.

Повторение этой части y = cos⁡(x) бесконечно слева и справа даст полный график косинуса. Ниже приведен график, показывающий четыре периода функции косинуса в интервале [-4π, 4π].

На этом графике видно, что y = cos⁡(x) демонстрирует симметрию оси y; отражение графика косинуса по оси Y дает тот же график. Это подтверждает, что косинус — четная функция, поскольку cos⁡(x)=cos⁡(-x).

Общее уравнение косинуса

Общая форма функции косинуса:

y = A·cos(B(x — C)) + D

, где A, B, C и D — константы. Чтобы иметь возможность построить уравнение косинуса в общем виде, нам нужно сначала понять, как каждая из констант влияет на исходный график y = cos⁡(x), как показано выше. Чтобы применить что-либо, написанное ниже, уравнение должно иметь форму, указанную выше; будьте осторожны со знаками.

A — амплитуда функции; высота от центра графика до максимума или минимума. В y = cos⁡(x) центром является ось x, а амплитуда равна 1, или A=1, поэтому самая высокая и самая низкая точки, которых достигает график, равны 1 и -1, диапазон cos(x) .

По сравнению с y=cos⁡(x), показанной ниже фиолетовым цветом, функция y=2 cos⁡(x) (красная) имеет амплитуду, вдвое превышающую амплитуду исходного графика косинуса.

B — используется для определения периода функции; период функции — это расстояние от пика до пика (или любой точки на графике до следующей точки соответствия) и может быть найден как . В y=cos⁡(x) период равен 2π. Мы можем подтвердить это, посмотрев на пики на графике косинуса. При x=0 y=cos⁡(x) имеет пик. В первый раз другой пик функции возникает при x=&plusmn2π, подтверждая, что период косинуса равен 2π.

По сравнению с y=cos⁡(x), показанным ниже фиолетовым цветом и имеющим период 2π, y=cos⁡(2x) (красный) имеет период
. Это означает, что граф повторяет каждое π, а не каждые 2π.

C — фазовый сдвиг функции; фазовый сдвиг определяет, как функция сдвигается по горизонтали.