Содержание
Симметричный режим трехфазной цепи
На рис. 7 приведены топографическая диаграмма и векторная диаграмма токов при симметричном режиме для схемы на рис. 4 и индуктивном характере нагрузки (φ > 0).
Ток в нейтральном проводе отсутствует:
поэтому при симметричном приемнике нейтральный провод не применяют. Линейные напряжения определяются как разности фазных напряжений:
Из равнобедренного треугольника ANВ имеем:
На рис. 8 приведены векторные диаграммы напряжений и токов при симметричном режиме и φ > 0 для схемы рис. 5. Линейные токи определяются как разности фазных токов:
Активная мощность симметричного трехфазного приемника
Принимая во внимание, что при соединении ветвей приемника звездой
а при соединении ветвей приемника треугольником
получим независимо от вида соединения
Следует помнить, что в этом выражении φ — сдвиг по фазе между фазным напряжением и фазным током.
Аналогично для реактивной и полной мощностей симметричного трехфазного приемника имеем
Определим суммарную мгновенную мощность трехфазного приемника при симметричном режиме. Запишем мгновенные значения фазных напряжений и токов, приняв начальную фазу напряжения uA равной нулю:
и выражения для мгновенных значений мощностей каждой фазы приемника:
При суммировании мгновенных значений мощностей отдельных фаз вторые слагаемые в сумме дадут нуль. Поэтому суммарная мгновенная мощность
не зависит от времени и равна активной мощности.
Многофазные цепи, в которых мгновенное значение мощности постоянно, называются уравновешенными.
Заметим, что в двухфазной симметричной цепи (рис. 9) с несимметричной системой ЭДС источника питания (см. рис. 3, б) система токов также несимметрична, однако цепь является уравновешенной, так как сумма мгновенных значений мощностей в фазах постоянна. Это можно показать тем же путем, каким была показана уравновешенность симметричной трехфазной цепи.
Постоянство мгновенных значений мощности создает благоприятные условия для работы генераторов и двигателей с точки зрения их механической нагрузки, так как отсутствуют пульсации вращающего момента, наблюдающиеся у однофазных генераторов и двигателей.
Рассматривая симметричные режимы связанных трехфазных цепей, легко показать преимущество последних в экономическом отношении по сравнению с несвязанными трехфазными системами цепей. У несвязанной трехфазной системы цепей шесть проводов с токами Iл = Iф. Трехфазная цепь без нейтрального провода, которая питает те же самые приемники, соединенные звездой, имеется только три провода с теми же токами Iл = Iф и линейными напряжениями, в корень из трех раз большими линейных напряжений в несвязанной трехфазной системе цепей, для которой Uл = Uф. В случае соединения приемников треугольником также получается вдвое меньше проводов, чем в несвязанной трехфазной системе цепей (три вместо шести), при этом токи в линейных проводах больше фазных токов не в 2 раза, а только в корень из трех раз.
Это позволяет уменьшить затраты материала на провода.
Векторные диаграммы электрических цепей | FaultAn.ru
При исследовании электрических цепей и моделировании часто пользуются векторными диаграммами токов и напряжений. Под векторной диаграммой понимается совокупность векторов, изображающих синусоидальные функции времени [1].
Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.
- Представление синусоидальных функций в виде комплексных чисел
- Закон Ома в комплексной форме
- Векторная диаграмма при последовательном соединении элементов
- Векторная диаграмма при параллельном соединении элементов
Представление синусоидальных функций в виде комплексных чисел
Векторная диаграмма – это удобный инструмент представления синусоидальных функций времени, коими являются, к примеру, напряжения и токи электрической цепи переменного тока.
Рассмотрим, например, произвольный ток, представленный в виде синусоидальной функции
$$ i(t) = 10 \sin(\omega t + 30 \degree). $$
Данный синусоидальный сигнал можно представить в виде комплексной величины
$$ \underline{I} = 10 \angle 30 \degree. $$
Для формирования комплексного числа используются модуль и фаза синусоидального сигнала.
Закон Ома в комплексной форме
Известно [1], что напряжение $ \underline{U} $ на сопротивлении $ \underline{Z} $ связано с током $ \underline{I} $, протекающим через это сопротивление, согласно закону Ома:
$$ \underline{U} = \underline{Z} \cdot \underline{I}. $$
Кроме того, известны соотношения, определяющие активное сопротивление резистора, индуктивное сопротивление катушки и ёмкостное сопротивление конденсатора:
$$ \underline{Z}_{R} = R, $$
$$ \underline{Z}_{L} = jX_{L}, $$
$$ \underline{Z}_{L} = -jX_{C}, $$
где $ X_{L} = \omega L $, $ X_{C} = \frac{1}{\omega C} $, $ R $ – сопротивление резистора, $ L $ – индуктивность катушки, $ C $ – ёмкость конденсатора, $ \omega = 2 \pi f $ – циклическая частота, $ f $ – частота сети, $ j $ – мнимая единица.
Векторная диаграмма при последовательном соединении элементов
Для построения векторных диаграмм сперва составляют уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи.
Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 1, и нарисуем для неё векторную диаграмму напряжений. Обозначим падение напряжение на элементах.
Рис. 1. Последовательное соединение элементов цепи
Составим уравнение для данной цепи по второму закону Кирхгофа:
$$ \underline{U}_{R} + \underline{U}_{L} + \underline{U}_{C} = \underline{E}. $$
По закону Ома падение напряжений на элементах определяется по следующим выражениям:
$$ \underline{U}_{R} = \underline{I} \cdot R, $$
$$ \underline{U}_{L} = \underline{I} \cdot jX_{L}, $$
$$ \underline{U}_{C} = -\underline{I} \cdot jX_{C}. $$
Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости. Обычно вектора токов и напряжений отображаются в своих масштабах: отдельно для напряжений и отдельно для токов.
Из курса математики известно, что $ j = 1 \angle 90 \degree $, $ -j = 1 \angle -90 \degree $. Отсюда при построении векторной диаграммы умножение какого-либо вектора на мнимую единицу $ j $ приводит к повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки, а умножение на $ -j $ приводит к повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке.
При построении векторной диаграммы напряжений на комплексной плоскости сперва отобразим вектор тока $ \underline{I} $, после чего относительного него будем отображать вектора падений напряжений (рис. 2) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.
Падение напряжения на резисторе $ \underline{U}_{R} $ совпадает по направлению с током $ \underline{I} $ (т.к. $ \underline{U}_{R} = \underline{I} \cdot R $, а $ R $ – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Падение напряжения на индуктивном сопротивлении опережает вектор тока на 90° (т.к. $ \underline{U}_{L} = \underline{I} \cdot jX_{L} $, а умножение на $ j $ приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки).
Падение напряжения на ёмкостном сопротивлении отстаёт от вектора тока на 90° (т.к. $ \underline{U}_{C} = -\underline{I} \cdot jX_{C} $, а умножение на $ -j $ приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке).
Рис. 2. Векторная диаграмма напряжений при последовательном соединении элементов цепи
Следует обратить внимание, что на одной векторной диаграмме изображают только векторы тех величин, у которых частота совпадает!
Векторная диаграмма при параллельном соединении элементов
Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 3, и нарисуем для неё векторную диаграмму токов. Обозначим направление токов в ветвях.
Рис. 3. Параллельное соединение элементов цепи
Составим уравнение для данной цепи по первому закону Кирхгофа:
$$ \underline{I}- \underline{I}_{R}- \underline{I}_{L}- \underline{I}_{C} = 0, $$
откуда
$$ \underline{I} = \underline{I}_{R} + \underline{I}_{L} + \underline{I}_{C} = 0. $$
Определим по закону Ома токи в ветвях по следующим выражениям, учитывая, что $ \frac{1}{j} = -j $:
$$ \underline{I}_{R} = \frac{\underline{E}}{R}, $$
$$ \underline{I}_{L} = \frac{\underline{E}}{jX_{L}} = -j \frac{\underline{E}}{X_{L}}, $$
$$ \underline{I}_{C} = \frac{\underline{E}}{-jX_{C}} = j \frac{\underline{E}}{X_{C}}.
$$
Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости.
При построении векторной диаграммы токов на комплексной плоскости сперва отобразим вектор ЭДС $ \underline{E} $, после чего относительного него будем отображать вектора токов токов (рис. 4) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.
Ток в резисторе IR совпадает по направлению с ЭДС $ \underline{E} $ (т.к. $ \underline{I}_{R} = \frac{\underline{E}}{R} $, а $ R $ – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Ток в индуктивном сопротивлении отстаёт от вектора ЭДС на 90° (т.к. $ \underline{I}_{L} = -j \frac{\underline{E}}{X_{L}} $, а умножение на $ -j $ приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке). Ток в ёмкостном сопротивлении опережает вектор ЭДС на 90° (т.к. $ \underline{I}_{C} = j \frac{\underline{E}}{X_{C}} $, а умножение на $ j $ приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки).
Результирующий вектор тока определяется после геометрического сложения всех векторов по правилу параллелограмма.
Рис. 4. Векторная диаграмма токов при параллельном соединении элементов цепи
Для произвольной цепи алгоритм построения векторных диаграмм аналогичен вышеизложенному с учётом протекаемых в ветвях токов и прикладываемых напряжений.
Обращаем ваше внимание, что на сайте представлен инструмент для построения векторных диаграмм онлайн для трёхфазных цепей.
Список использованной литературы
- Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.
Основы векторного анализа, часть 3
Основы векторного анализа, часть 1
Основы векторного анализа, часть 2
Основы векторного анализа, часть 4
В прошлом месяце мы видели, как можно использовать векторы для определения сложных схем и определить ток. В этом месяце мы покажем вам, как использовать векторные диаграммы и простую математику для расчета токов нейтрали в 3-фазных 4-проводных цепях.
Вы можете графически отображать фазные токи в любой трехфазной системе с векторами, исходящими из общей точки и расположенными под углом 120° друг к другу. Для описания этого состояния используется термин «фазовый сдвиг». С длинами векторов (величинами), представляющими соответствующие фазные токи, вы можете построить векторную диаграмму.
Если вы обратите пристальное внимание на используемую шкалу (скажем, ½ дюйма = 25A) и будете следовать ранее обсуждавшимся векторным законам (см. « Основы векторного анализа — Часть 1 » в выпуске за август 2008 г. на стр. C14), вы можно получить полное графическое решение, показывающее результирующие нейтральные токи.
Проблема №1 (используются три фазы, сбалансированная нагрузка)
К сожалению, этот метод иногда громоздок. Кроме того, степень точности зависит от ваших способностей к измерению и черчению. В результате мы используем векторы в этом случае только для того, чтобы представить графическое изображение фаз относительно их соответствующих величин и направлений.
Обычно мы вставляем фактические текущие значения и углы между ними в некоторые основные тригонометрические уравнения, чтобы получить быстрое и точное решение. Тем не менее, создание векторной диаграммы является важной частью этой процедуры. Давайте решим несколько примеров задач, чтобы увидеть, как это работает.
Глядя на Рис. 1 , вы можете видеть, что фазы A, B, и C одинаково нагружены фазной нагрузкой 10 А. Теперь давайте начнем процесс векторного анализа. Во-первых, мы создаем векторную диаграмму, как показано на рис. 2 , с векторами фазного тока A, B, и C , расположенными на расстоянии 120° друг от друга.
Затем мы создаем параллелограмм, рисуя пунктирные линии, параллельные (и одинаковой длины) векторам A и Б . Используя правило параллелограмма, обсуждавшееся в первой части этой серии, мы рисуем вектор N , который является результатом векторного сложения векторов A и B .
Поскольку векторы A и B имеют одинаковую величину, вектор N создает внутри параллелограмма два равносторонних треугольника. А поскольку стороны равностороннего треугольника равны по длине, величина Вектора N также должна быть 10А.
Снова взглянув на рис. 2, вы увидите, что вектор N находится в направлении 180° , противоположном вектору C , который представляет ток, протекающий по фазе C . Согласно одному из других основных векторных законов, обсуждавшихся в части 1, результирующая величина диаметрально противоположных векторов равна разности между их значениями. В этом случае 10А-10А = 0.
Задача № 2 (используются две фазы; сбалансированные нагрузки)
Если мы создадим аналогичные параллелограммы в Векторах А и С , и B и C , а затем начертить аналогичные векторы N , получим такое же сокращение. Это доказывает, что в 3-фазной 4-проводной системе с заземлением по схеме «звезда» ток частотой 60 Гц, протекающий в нейтральном проводнике, равен 0, когда все фазные токи равны.
Теперь предположим, что фазы A и B одинаково нагружены фазной нагрузкой 10 А, а ток фазы C изменяется от 0 до 10 А. Векторная диаграмма для этого условия ( Рис. 3 ) показывает, что часть тока нейтрального проводника, представленная Вектором N , является результатом векторного сложения Векторов A и B . Как мы видели ранее, его величина равна 10А. Если ток фазы C равен 10 А, мы знаем из задачи 1, что общий ток нейтрали равен 0. Но что, если ток фазы C меняется? Каковы будут соответствующие нейтральные токи?
Снова возвращаясь к задаче 1, мы видим, что разница между изменением фазы 9Векторы тока 0011 C и величина вектора N (10 А) приведут к различным токам нейтрали. Например, если величина Вектора C равна 2А, то нейтраль будет равна 8А; если Vector C равен 4А, то ток нейтрали равен 6А и так далее.
C:\files\courses\3414\ece3414notes1a.wpd
%PDF-1.