Таблица значений тригонометрических функций. Cos это что
scolaire.ru Синус sin x косинус cos xСправочник по тригонометрическим функциям. Синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица синусов и косинусов, производные, интегралы, разложения в ряды, секанс, косеканс. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями. Геометрическое определение синуса и косинуса|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A. α - угол, выраженный в радианах. Синус (sin α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|. Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|. Принятые обозначения;;. ;;. График функции синус, y = sin xГрафик функции косинус, y = cos xСвойства синуса и косинусаПериодичностьФункции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π. ЧетностьФункция синус – нечетная. Функция косинус – четная. Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убываниеОсновные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n - целое).
Основные формулы, содержащие синус и косинусСумма квадратовФормулы синуса и косинуса суммы и разностиФормулы произведения синусов и косинусов
|
| Си́нус | $ \sin $ | $ \sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) $ |
| Ко́синус | $ \cos $ | $ \cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) $ |
| Та́нгенс | $ \operatorname{tg} $ или $ \tan $ | $ \operatorname{tg}\; x=\frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{ctg}\; \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\operatorname{ctg}\; x} $ |
| Кота́нгенс | $ \operatorname{ctg} $ или $ \cot $ | $ \operatorname{ctg}\; x=\frac{\cos x}{\sin x}=\operatorname{tg}\; \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\operatorname{tg}\; x} $ |
| Се́канс | $ \sec $ | $ \sec x=\frac{1}{\cos x}=\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right) $ |
| Косе́канс | $ \operatorname{cosec} $ или $ \csc $ | $ \operatorname{cosec}\; x=\frac{1}{\sin x}=\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right) $ |
Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике Править
Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла $ \alpha, $ возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол $ \alpha $. Стороны этого треугольника мы будем называть так:
- Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу, самая длинная сторона в треугольнике. В данном случае, сторона $ c. $
- Противолежащий катет — катет, лежащий напротив угла. Например, катет $ a $ — противолежащий по отношению к углу $ A. $
- Прилежащий катет — катет, являющийся стороной угла. Например, катет $ b $ — прилежащий по отношению к углу $ A. $
Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна $ \pi. $ Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между $ 0 $ и $ \frac{\pi}{2}. $ Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.
Си́нус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: $ \sin\alpha=\frac{a}{c}. $ Это отношение не зависит от выбора треугольника $ {ABC} $, содержащего угол $ \alpha, $ так как все такие треугольники подобны.
Ко́синус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: $ \cos\alpha=\frac{b}{c}. $ Так как $ \sin\beta=\frac{b}{c}, $ синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот.
Та́нгенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: $ \operatorname{tg}\,\alpha=\frac{a}{b}. $
Кота́нгенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: $ \operatorname{ctg}\,\alpha=\frac{b}{a}. $ Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.
Се́канс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету: $ \sec\alpha=\frac{c}{b}. $
Косе́канс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету: $ \operatorname{cosec}\,\alpha=\frac{c}{a}. $
Из определений тригонометрических функций следует:
$ a=c\sin\alpha\,, $ $ b=c\cos\alpha\,, $ $ a=b\,\operatorname{tg}\,\alpha, $ $ b=a\,\operatorname{ctg}\,\alpha, $ $ c=b\sec\alpha\,, $ $ c=a\,\operatorname{cosec}\,\alpha, $и симметрично:
$ b=c\sin\beta\,, $ $ a=c\cos\beta\,, $ $ b=a\,\operatorname{tg}\,\beta, $ $ a=b\,\operatorname{ctg}\,\beta, $ $ c=a\sec\beta\,, $ $ c=b\,\operatorname{cosec}\,\beta. $Определение тригонометрических функций через окружность Править
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке $ O $ и с осями $ {OX} $ и $ {OY} $ . Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке $ O $ и радиусом, равным единице. Пусть отрезок $ {OA} $ поворачивается на произвольный угол $ \vartheta $ вокруг центра $ O. $
Синусом угла $ \vartheta $ называется отношение ординаты точки $ A $ к длине отрезка $ {OA}. $ Обозначают $ \sin\vartheta=\frac{AC}{OA}. $ Так как длина отрезка $ {OA} $ равна $ 1 $, то $ \sin\vartheta={AC}. $
Косинусом угла $ \vartheta $ называется отношение абсциссы точки $ A $ к длине отрезка $ {OA}. $ Обозначают $ \cos\vartheta=\frac{OC}{OA}. $ Так как длина отрезка $ {OA} $ равна 1, то $ \cos\vartheta={OC}. $
Тангенсом угла $ \vartheta $ называется отношение ординаты точки $ A $ к абсциссе точки $ A $. Обозначают $ \operatorname{tg}\,\vartheta=\frac{AC}{OC} $ (в англоязычной литературе $ \tan\vartheta ). $ Так как $ {AC}=\sin \vartheta $ и $ {OC}=\cos\vartheta, $ то $ \operatorname{tg}\,\vartheta=\frac{\sin\vartheta}{\cos\vartheta}. $
Котангенсом угла $ \vartheta $ называется отношение абсциссы точки $ A $ к ординате точки $ A $. Обозначают $ \operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{OC}{AC} $ (в англоязычной литературе $ \cot\vartheta ). $ Так как $ {AC}=\sin\vartheta $ и $ {OC}=\cos\vartheta, $ то $ \operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}. $ Котангенс равен обратному значению тангенса: $ \operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{1}{\operatorname{tg}\,\vartheta}. $
Секансом угла $ \vartheta $ называется отношение длины отрезка $ {OA} $ к абсциссе точки $ A $. Обозначают $ \sec\vartheta=\frac{OA}{OC}. $ Так как длина отрезка $ {OA} $ равна 1, то $ \sec\vartheta=\frac{1}{OC}. $ Секанс равен обратному значению косинуса: $ \sec\vartheta=\frac{1}{\cos\vartheta}. $
Косекансом угла $ \vartheta $ называется отношение длины отрезка $ {OA} $ к ординате точки $ A $. Обозначают $ \operatorname{cosec}\,\vartheta=\frac{OA}{AC} $ (в англоязычной литературе $ \csc\vartheta ). $ Так как длина отрезка $ {OA} $ равна $ 1 $, то $ \operatorname{cosec}\,\vartheta=\frac{1}{AC}. $ Косеканс равен обратному значению синуса: $ \operatorname{cosec}\,\vartheta=\frac{1}{\sin\vartheta}. $
Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.
Определение тригонометрических функций через ряды Править
Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенных рядов:
$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}, $ $ \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}. $Пользуясь этими формулами, а также уравнениями $ \operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x}, $ $ \operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x}, $ $ \sec x=\frac{1}{\cos x} $ и $ \operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x}, $ можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:
$ \operatorname{tg}\,x=x+\frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right), \quad $ где $ B_n $ — числа Бернулли. $ \sec x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}+\frac{277x^8}{8064}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n}, $ где $ E_n $ — числа Эйлера.Значения тригонометрических функций для некоторых углов Править
Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.
| $ \sin \alpha \,\! $ | $ {0} \,\! $ | $ \frac{1}{2}\,\! $ | $ \frac{ \sqrt{2}}{2}\,\! $ | $ \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\! $ | $ {1}\,\! $ | $ {0}\,\! $ | $ {-1}\,\! $ |
| $ \cos \alpha \,\! $ | $ {1} \,\! $ | $ \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\! $ | $ \frac{ \sqrt{2}}{2}\,\! $ | $ \frac{1}{2}\,\! $ | $ {0}\,\! $ | $ {-1}\,\! $ | $ {0}\,\! $ |
| $ \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,\! $ | $ {0} \,\! $ | $ \frac{1}{ \sqrt{3}}\,\! $ | $ {1}\,\! $ | $ \sqrt{3}\,\! $ | $ \infty \,\! $ | $ {0}\,\! $ | $ \infty \,\! $ |
| $ \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,\! $ | $ \infty \,\! $ | $ \sqrt{3}\,\! $ | $ {1} \,\! $ | $ \frac{1}{ \sqrt{3}}\,\! $ | $ {0}\,\! $ | $ \infty \,\! $ | $ {0}\,\! $ |
| $ \sec \alpha \,\! $ | $ {1} \,\! $ | $ \frac{2}{ \sqrt{3}}\,\! $ | $ \sqrt{2}\,\! $ | $ {2}\,\! $ | $ \infty \,\! $ | $ {-1}\,\! $ | $ \infty \,\! $ |
| $ \operatorname{cosec}\, \alpha \,\! $ | $ \infty \,\! $ | $ {2}\,\! $ | $ \sqrt{2}\,\! $ | $ \frac{2}{ \sqrt{3}}\,\! $ | $ {1}\,\! $ | $ \infty \,\! $ | $ {-1}\,\! $ |
Значения тригонометрических функций нестандартных углов Править
$ \sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $$ \operatorname{tg} \frac{\pi}{120}= \operatorname{tg} 1.5^\circ =\sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{ 2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})} }} $
$ \cos \frac{\pi}{240}=\frac{1}{16}\left(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left(\sqrt{2(2+\sqrt{5})}+\sqrt{3}-\sqrt{15} \right) + \sqrt{\sqrt{2+\sqrt{2}}+2} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} - 1 \right) \right) $
$ \cos \frac{\pi}{17} = \frac{1}{8} \sqrt{2 \left( \sqrt{2\sqrt{\frac{17(17-\sqrt{17})}{2}}-\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}}-4\sqrt{34+2\sqrt{17}} + 3\sqrt{17}+17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\sqrt{17}+15 \right)} $
Свойства тригонометрических функций Править
Функция y = cos x — чётная. Функции: y = sin x, y = tg x, y = ctg x — нечётные, то есть:
$ \sin \left( - x \right) = - \sin x\,, $ $ \cos \left( - x \right) = \cos x\,, $ $ \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - x \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, x\,, $ $ \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - x \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, x\,. $Для острых углов $ \alpha < \frac{ \pi}{2}\,\! $ справедливо:
$ \sin \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha\,, $ $ \cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,, $ $ \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha\,, $ $ \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,. $Для углов $ 0 < \alpha < \pi \,\! $ справедливо:
$ \sin \left( \pi - \alpha \right) = \sin \alpha\,, $ $ \cos \left( \pi - \alpha \right) = - \cos \alpha\,, $ $ \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \pi - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha, \qquad \alpha \ne \frac{ \pi}{2}\,. $Рассмотрим треугольник ABO (см. Рис. 1). По теореме Пифагора:
$ \left(AB \right)^2 + \left(BO \right)^2 = \left(OA \right)^2 \,, $если OA = 1, то AB = sin α и OB = cos α, то есть
$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \qquad \qquad (1)\, $Если разделить выражение (1) на $ \cos^2 \alpha \,, $ то получим следующее тождество:
$ 1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha}. \qquad \qquad (2) \, $Если разделить выражение (1) на $ \sin^2 \alpha \,, $ то получим следующее тождество:
$ 1 + \frac{1}{ \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha} = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}, \qquad \qquad (3) \, $или
$ 1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}. \qquad \qquad (4) \, $Производные и интегралы Править
Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:
$ ( \sin x )' = \cos x \,, $
$ ( \cos x )' = -\sin x \,, $
$ ( \mathop{\mathrm{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x}, $
$ ( \mathop{\mathrm{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x}. $
Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:
Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.
Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.
Термины «тангенс» (от лат. «tangens» — касающийся) и «секанс» (лат. «secans» — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)
- GonioLab: Проясненная Единичная Окружность, Тригонометрические и Гиперболические функции (Java Web Start)
ar:تابع مثلثي ast:Función trigonométrica bg:Тригонометрична функция bs:Trigonometrijske funkcije ca:Funció trigonomètrica cs:Goniometrická funkce da:Trigonometrisk funktiongl:Función trigonométrica io:Trigonometriala funciono is:Hornafallksh:Sinus nl:Goniometrische functie pl:Funkcje trygonometrycznesimple:Trigonometric function sl:Trigonometrična funkcija sr:Тригонометријске функције sv:Trigonometrisk funktion tg:Функсияҳои тригонометрӣ th:ฟังก์ชันตรีโกณมิติ uk:Тригонометричні функції vi:Hàm lượng giáczh-classical:三角函數
ru.math.wikia.com
КОСИНУС - это... Что такое КОСИНУС?
КОСИНУС — (ново лат. cosinus, вместо complementi sinus дополнение синуса). Синус угла дополнения: в прямоугольном треугольнике косинус угла есть частное от деления прилежащего катета на гипотенузу. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка … Словарь иностранных слов русского языка
КОСИНУС — КОСИНУС, в ТРИГОНОМЕТРИИ отношение длины стороны, прилежащей к острому углу, к длине ГИПОТЕНУЗЫ в прямоугольном треугольнике. Сокращенно косинус угла А обозначают как cos A … Научно-технический энциклопедический словарь
КОСИНУС — (новолат. cosinus от complementi sinus синус дополнения), одна из тригонометрических функций … Большой Энциклопедический словарь
КОСИНУС ФИ — (cos ?) для синусоидального тока, то же, что коэффициент мощности … Большой Энциклопедический словарь
КОСИНУС — КОСИНУС, косинуса, муж. (лат. cosinus) (мат.). Синус дополнительного угла, функция угла, выражаемая отношением прилегающего к углу катета к гипотенузе. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
КОСИНУС — КОСИНУС, а, муж. (спец.). Тригонометрическая функция угла, в прямоугольном треугольнике равная отношению к гипотенузе катета, прилежащего к данному острому углу. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
КОСИНУС ФИ — (cos j), для синусоидального тока, то же, что коэффициент мощности (см. КОЭФФИЦИЕНТ МОЩНОСТИ) … Энциклопедический словарь
косинус — сущ., кол во синонимов: 1 • функция (49) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
косинус — косинусоидальный косинусный — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы косинусоидальныйкосинусный EN cosine … Справочник технического переводчика
косинус — синус дополнения лат.: cosinus, complementi sinus новолат. лат … Словарь сокращений и аббревиатур
dic.academic.ru
Таблица значений тригонометрических функций
Примечание. В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби - символ "/".
См. также полезные материалы:
Для определения значения тригонометрической функции, найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2 ) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других "популярных" углов.
Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах
Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах. Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.
Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.
Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180.
Примеры: 1. Синус пи. sin π = sin 180 = 0 таким образом, синус пи - это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.
2. Косинус пи. cos π = cos 180 = -1 таким образом, косинус пи - это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.
3. Тангенс пи tg π = tg 180 = 0 таким образом, тангенс пи - это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 - 360 градусов (часто встречающиеся значения)
Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет - клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.
Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов 0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градусов (цифровые значения "как по таблицам Брадиса")
| 0 |
0 |
1 |
0 |
- |
|
π/12 |
0,2588 |
0,9659 |
0,2679 |
3,7321 |
|
π/6 |
0,5000 |
0,8660 |
0,5774 |
1,7321 |
|
π/4 |
0,7071 |
0,7071 |
profmeter.com.ua
